148 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



de Clifford dans l'espace E^ et en fournit une interprétation 

 extrêmement claire. 



1° Considérons toutes les couronnes, au nombre de œ* ayant 

 un centre donné c à la surface de la sphère; chacune reste inal- 

 téi-ée, quelle que soit la rotation qu'on fait subir à la sphère au- 

 tour de c. 



A moins de coïncider, deux pareilles couronnes ne se rencon- 

 trent jamais, ou n'ont aucune flèche commune : autrement dit, 

 elles n'appartiennent pas à un même couronoide. 



Les 00- couronnes dont il vient d'être question sont l'image, 

 dans Ej , d'un faisceau de droites, qui sont parallèles entre elles, 

 à gauche. L'analogie des deux espaces montre à l'instant que 

 deux droites semblables, parallèles entre elles, ne sont pas con- 

 tenues dans un même plan. 11 existe un mouvement tel que si ("une 

 d'entre elles glisse le long d'elle-même d'une longueur 'j>, toutes 

 les autres en font autant. Et de même que par une flèche,, on peut 

 toujours mener une couronne et une seule, qui soit concentrique 

 à une couronne donnée, de même par un point de Ej' passe 

 toujours une unique droite qui est parallèle à gauche à une 

 droite donnée. 



2° Considérons toutes les couronnes, au nombre de oo'^, dont la 

 forme est donnée a priori, tandis que leur situation à la surface 

 de la sphère est arbitraire. Deux semblables couronnes, à moins 

 do coïncider, ne font jamais partie d'un même couroiioïde. Il est 

 évident qu'il existe un ensemble de a.' antirotations, d'amplitude 

 quelconque, laissant invariante chacune de ces couronnes: ce 

 sont celles dont le centre est placé, i-elativement à la flèche mo- 

 bile, comme l'est le centre de noti-e couronne par rapport à la 

 flèche qui la décrit. 



Dans la Stéréométrie riemanienne, ces couronnes, congruentes 

 entre elles, correspondent aux parallèles de Cliflord à droite. 

 Les propriétés relatives à cette seconde espèce du parallélisme 

 sont identiques de tout point à celles dont jouit le i)arallé]isme 

 à gauche. 



•S" Nous savons que toute rotation est permutable avec toute 

 antirotation. Par suite, dans E^ , si on exécute successivement 

 deux translations, l'une à droite, l'autre à gauche, de manière 



