GÉOMÉTRIE DE UIEMANN 149 



qu'un certain point A se transporte tantôt en A', sous l'influence 

 de la première, tantôt en A" sous l'influence de la seconde, les 

 points A" et A' viendront occuper tous deux la niênie position 

 finale A'", après qu'on les aura soumis aux deux translations 

 res|)ectives. Et la figure AA'A"A"' a ses côtés opposés égaux et 

 parallèles, l'uno des paires à gauche, l'autre à droite, ('ette difîé- 

 reiice de qualité dans le parallélisme, et le fait que la figure est 

 gauche au liou d'être plane sont les seuls traits qui en ditleren- 

 cicnt les propriétés de celle du parallélogramme euclidien. 



On voit avec quelle facilité laCiéoniétrie de flèches sphériques 

 rend compte du parallélisme de Clifford, cette notion qui reste 

 sans emploi dans la Plauimétrie mais joue, en revanche, un rôle 

 si caractéristique dans la Stéréométrie riemannienne. 



>5 9. — Relation Trigonométrique. 



Le rappoi-t entre la Trigonométrie de l'espace E^', et la règle 

 de la composition des rotations est des plus immédiats : je me 

 borne sur ce sujet par lequel je termine à quelques brèves indi- 

 cations. 



On a, tant pour les points d'une droite dans E,", que pour les 

 flèches formant une couronne sur la sphère, la représentation 

 paramétrique suivante; elle est à peu près évidente 



H = Tj' cos * + i" sia * . (15) 



En ce qui concerne la couronne par exemple, les quaternions 

 V et r," représentent deux dos flèches qui y sont contenues, dis- 

 tantes d'un quadrant, de sorte que {r^rl') = 0. La quantité s me- 

 sure la distance qui sépare la flèche /, do la flèche initiale r/. 



Si on prend une nouvelle couronne qui rencontre la précé- 

 dente suivant la même flèche r,', la représentation paramétrique 

 correspondante sera 



H' = r,' COS s' + r/" si 11 s' , (16) 



et l'on a de même (ri'r"') = 0. 



Le cosinus de la distance S qui sépare les flèches H, H' de 

 chaque couronne est égal au produit scalaire (HH') des quan- 



