150 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



tités (15) et (16); et ce dernier, en vertu de {T/r{') = (ri'v{")=:0, 

 est égal à 



cos s := cos 5 cos s' + {■'{' 'n'" ) sin 5 pin s' . 



Pour deux droites de E^ le produit (i"'!'") dépend uniquement 

 de l'angle de ces droites. De même, dans le cas de deux cou- 

 ronnes concourantes, le produit en question dépend de ces cou- 

 ronnes seulement, non des flèches qui y sont contenues : on peut 

 donc l'appeler nussi le cosinus de Yangle de ces couronnes et 

 écrire en désignant par A cet angle 



cos s = cos s cos s' -j- sin s sin s' cos A . (17) 



Et ainsi ; quand une flèche décrit dans deux couronnes qui se 

 rencontrent sous l'angle A, des segments d'amplitude s et s'^ la 

 distance S qui sépare les positions finales est domiée par la for- 

 mule trigonométrique (17). 



Reste à trouver comment s'obtient géométriquement l'angle 

 de deux couronnes concourantes. Soient, à cet eft'et; 0, et 0., les 

 centres des couronnes; réduisons la lamelle f\ à l'arc du grand 

 cercle OjO,, et faisons la tourner successivement des angles 

 2s = 180°, 2s' = 180°, autour des points 0, et O^. 



On voit immédiatement que S = 0,0.,, tandis que la formule 

 (17) donne cos S = cos A. 



Ainsi Yangle de deux couronnes qui se rencontrent est égal à 

 celui des axes de ces couronnes. 



Ce résultat fondamental précise le sens du théorème (17), dont 

 les conséquences sont fort nombreuses ; elles embrassent notam- 

 ment la théorie de la perpendicularité entre couronnes et cou- 

 ronoïdes. 



Mais l'examen détaillé de cos nouveaux problèmes nous ferait 

 enfler démesurément cet article, sans nous donner autre chose 

 que la preuve réitérée du parallélisme nécessaire qui relie la 

 Géométi'ie riemannienne à la Cinématique des figures sphériques 

 mobiles sur leur propre sphère. 



