194 SUR LA THÉORIE DU COURONOÏDE 



gligée, et ainsi, j^our que les deux flèches soient réflexes, il faut 

 avoir : 



(x'r) = (xy\ ; (3) 



cette équation sera donc celle du couronoïde, si on y considère x', 

 et y' comme donnés et constants \ Nous allons voir que cette 

 condition peut se décomposer en deux autres -. 

 A cet effet, considérons l'expression 



A = 1 — {xx')- -■ (xi')- = 1 — {xx'r —{x'yf , 



ou 



A = x' -\- X 4- a- — (xx 4- X .r + .r x ] ■ — l.r r -\- x y -4- x y ) . 



1 ' 2' 3 ^ll' 22' S s' !• 1 ' 8' 2 ' 3-3' 



En vertu de (1) et (2), x' , y' sont deux vecteurs unités rec- 

 tangulaires; donc nous pouvons écrire sous forme carrée 



A = \ .r, [x'y'l + x.^ [.r'j-'], + ■r., [x'y% } ' . ('il 



et aussi, en raison de la symétrie qui existe entre les lettres 

 accentuées et les lettres simples 



A = j x[ [.n], + ./ r.r)-]o + ./ [xy], ( ' . (5) 



Egalons les deux valeurs de yÂ, tirées de (4) et (5), nous 

 obtenons : 



= 



De là résulte que si les flèches sont réflexes, on doit avoir, 

 soit les équations vectorielles 



y + r' = ax + hx' , (6) 



soit encore 



y — y' = ex — dx' , ( 7 ) 



a, 6, c, et d étant certains scalaires inconnus. 



' Pour abréger, j'écris par exemple {xx^) au lieu de xx^ -\- xx^ -\- xjc^ . 



- Les équations S?/- = 1 , Sa;?/ = Sx'?/' , Sa/?/ = "^xy', où lea y sont 

 les inconnues, les autres lettres étant données, forment un système du se- 

 cond degré. Il y a donc, ce semble, deux flèches?/ attachées à chaque point x 

 par le couronoïde ; c'est le paradoxe dont j'ai parlé plus haut. 



