SUR LA rilKORIE DU COURONOÏUE 1!»7 



Prenons l'équation du couronoïde sous la forme (9), ou 



:x.r') — 1 



[X X 



et représentons on X,, Xj, X3 les traces sur la splière dos trois 

 axes coordonnés. La position de la flèche fixe f (j/, y' ) étant 

 arbitraire, supposons cette flèche appliquée suivant X, X„, son 

 origine étant en X,, son extrémité en X.,. Nous avons ainsi 



x' = (I. 0. 0) , y' = lO. 1, Oi . 



Soient r et les coordonnées polaires d'un point de la sphère, 

 ou 



.r, = cos r , .Ts = sin r cos , x^ = sin /• siii ; 



si ce point est l'origine d'une flèche, ds l'élément d'arc de la 

 trajectoire, les coordonnées de lextrémité de la même flèche 

 seront 



ci (cos I) d . d . 



y -=z , )• = — isiii /■ oos , r = -— siii /■ sin . 



-'i ds '^ ds^ ' • ' ds 



De plus 



ixx'] ^ ros /■ , {xr'\ =: sin r cos , — -r- = — cot , cos 6 ; 



* • [XX ) — 1 2 



les équations différentielles, compatibles entre elles, des trajec- 

 toires sont ainsi 



d cos /• /■ , . 



— cot — cos (cos r — 1) , 



ds 2 



d (si 11 ;• cos 



— 1 = — cot — cos . sin ;• cos 



ds ~ 2 



d (sin r sin 0| /•,.., 



1= — col — cos U sin /• sm t) 



ds 2 



En divisant la première de ces formules par la troisième nous 

 trouvons 



d {\ — cos r] 1 — cos ;■ 

 d (sin r sin 6| sin r sin 6 



d'où, par intégration. 



1 — cos ;• = a sin ;■ sin ') . 



