200 SUR LA THÉORIE DU COURONOÏDE 



et à un mouvement du plan sur lui-même un qîiaternion du type 



P = Pi, + 'iPi + '2/'2 + '3P3 • (11) 



Voici la définition de ce dernier. Si w est la. grandeur^ d'une 

 rotation qui s'exécute autour d'un point d'abscisse c^, d'ordon- 

 née C3 , nous avons 



/^y = cos <<> , p^ :=z sin 'o , p^ = c, siu w , p.^ ■=. c^ sin oj ; ( 12| 



si, au lieu d'être rotatif, le mouvement était translatoire, et que 

 le glissement fût parallèle et égal au vecteur 1a.^ , 2a3 , il faudrait 

 écrire à la place de (12) 



/>„ =z 1 , p, = , /?2 = — «3 . /J3 = a,_ . (13) 



Dans les deux cas, le quaternio)t (11) est unimodidaire. ce qui 

 veut dire qu'on a dans le cas actuel 



i\ + />;=!• 



Cela posé, la formule du mouvement sur la sphère est encore 

 applicable ici, et l'on a de nouveau, dans le cas du plan. 



r = p^.p- (14| 



Tout calcul fait, les formules de changement d'axes qui viennent 

 se substituer aux formules de Rodrigues se présentent ,à nous 

 comme suit 



■< = (Po + K'-^'i = -^ 



■K = ^^PJ\ - PoP.^-'\ + ^Pol\''\ + ^pI - /V-^s • 



La translation et la rotation des axes coordonnés sont traitées 

 dans ces équations d'une manière toute semblable, il n'y a pas 

 à distinguer entre elles. 



On trouve immédiatement, comme une conséquence des for- 

 mules qui précèdent, celles qui fournissent la transformation 

 des coordonnées linéaires homogènes d'une droite (?f, , u.^, îr,) ; 

 ce sont 



' 'i) est donc égal à la moitié de l'angle de la rotation. 



