suit LA TIIKOHIK DU C(>URONOÏDE 201 



"i = </'o + /V", + ~^i\i\-p^Pz^". + '^^PiP, + r„'\^", • 



a = [Il — p \ Il — 1 1) 1) Il 



J '/ / l s / 01 1 3 



' .n , * = 



w = 11) p II + [p — P.\ Il 



3 / 0' » a ' '/ ' 1 3 



La lion coiitonnité de cps deux systèmes, relatifs aux points et 

 aux droites, (>st un des eiui)arras dont j'ai parlé plus haut: ils 

 rendent à certains éjiards la théorie des tièches plus complexe 

 dans le plan que sur la sphère'. 



v? T). — Il est clair désormais qu'ayant choisi une flèche initiale 

 /"o pour compléter le système de repères, toute autre flèche du 

 pian est caractérisée, relativement à (S, /i,), par le mouvement 

 qui amène f^ sur /"; autrement dit la flèche /" est représentée 

 analyti(iuemont à l'aide dn quaternion 



soit de ses composantes e^. 



Quand on changera le système de repères, les coordonnées 

 d'une flèche déterminée se transformeront suivant la formule 



Enfln la rotation qui conduit une flèche '. sur une autre -i' a 

 pour représentant le quaternion 



Jusqu'ici. lanalogie avec la sphère est parfaite, les diflèrences 

 des deux cas semblent inexistantes. Pour les mettre en évidence 

 il suftit toutefois d'opposer à la forme ancienne de l'invariant 

 de deux flèches, à quatre termes, la forme actuelle, à deux 

 termes seulement. 



Cet invariant est égal à la partie scalaire de la quantité 

 ï,'^: en vertu des lois de composition contenues dans les for- 



' Il est aisé de reconnaître l'existence d'nn invariant relatif à deux points, 

 c'est (a:, — y^)- -\- {x.^ — î/.-î)'» <^ii ^ous forme homogène, {x^ijo — -l'o.'/i)' 

 4- (a;,,î/j — y.x^)-. Les coordonnées linéaires u^ , u., , n,^ sont respectivement 

 égales aux déterminants x.,y..^ — x^y., , x^y^ — x^y^ . x^y^ — .r,//, , et u., , u^ 

 subissent évidemment une transformation orthogonale. 



