SUR liA TIIKOHIK DU C'OURONOÏDK 205 



(le la couronne; elles suffisent i)Our faire eoniiJi-cndrt^ le prin- 

 cipe (le la méthode. 



Soient, relativement à un système d'axes, x et y les coordon- 

 nées de l'origine de la ilèclie, s -.= x + ?/i la quantité complexe 

 (lui en est l'affixe ; soient a et h les cosinus directeurs de cette 

 flèche, et A = « -f- hi. 



Les (juanfités 2: et A caractérisent complètement la flèche, 

 quant à sa position et à sa direction. Elles équivalent à trois 

 données réelles, car les cosinus a et 6 devant toujours vérifier la 

 condition «"^ 4- 6- = 1 , le module de A est égal à l'unité. 



Cela i)Osé, le groupe des déplacements (sous-groupe des mou- 

 vements au sens large) est représenté par les oc'^ transformations 



3 ,^;e"" ■ + / , A ^> r'"''A ; |20) 



t est une quantité complexe quelconque qui représente la trans- 

 lation des axes, taudis que <.> est réel et détermine leur rotation. 

 De son côté, le groupe des autidéplacements, autre sous- 

 groupe contenu dans le groupe général des mouvements, con- 

 tient les rf? transformations 



z r^ z ^ iik , A <^' e"'''A , (21) 



avec deux paramètres, l'un (->' réel, l'autre u complexe quelconque. 

 Considérons une expression telle que 



_i _i 



A ^A' Me — ;.') . (22) 



laquelle, outre les variables 2; et A, contient encore deux imra- 

 niètres complexes z' et A' , ce dernier unimodulaire comme A. 

 L'expression précédente est invariante par les substitutions du 

 groupe (20), pourvu que les paramètres subissent les transfoi*- 

 mations suivantes 



3' ^ -'c"n _j_ ^ _ A' .^ A'e"^' , (23) 



tandis que les variables se transforment d'après les formules (20). 

 Admettons en outre que les mêmes paramètres subissent la 

 transformation * 



' Je désigne par u la conjuguée d'une quantité quelconque m , obtenue 

 en changeant i en — i. 



