206 SUR LA THÉORIE DU COURONOÏDE 



z'c^z' + TiA', A' r^ A'e"-''' . (24) 



alors que les variables se transforment selon le groupe (21) des 

 anti déplacements. 



L'expression (22), invariante par le groupe des déplacements, 

 ainsi qu'on vient de voir, ne l'est pas pour celui des antidé- 

 placements; quand on lui applique les formules (21) elle aug- 

 mente de la quantité 



11 1111 



A -A' " [il A — u X ) , ou, f< A * A' '^ — ii A * A' " . 



Mais celle-ci, qui est la différence de deux quantités conju- 

 guées, est purement imaginaire. Ainsi, si l'on désigne par j;^. la 

 partie réelle d'une quantité complexe ^;, on voit que l'équation 



[a ^A' ^ '=-.')],. 



(25i 



est invariante, relativement au groupe (20), comme relativement 

 au groupe (21) ; elle est donc invariante dans le groupe de tous 

 les mouvements au sens large. 



Et puisque cette formule (20) représente évidemment une bi- 

 série de flèches, c'est l'équation générale du couronoïde. 



Quant à l'équation de la couronne, elle s'obtient d'une manière 

 plus immédiate encore. 



Désignons par z^ et v deux quantités complexes quelconques 

 constantes, il est clair que la relation 



z = z^+ ,\ , (26) 



où A est la variable, représente une couronne ; cette couronne 

 est centrée au point z^, son rayon est égal au module de la quan- 

 tité V, enfin les flèches qui lui appartiennent font avec le rayon 

 vecteur un angle égal et de signe contraire à l'argument de la 

 même quantité v \ 



Le couronoïde (25) contient une double infinité de couronnes. 

 En eftèt, z' et A' étant donnés, imposons aux paramètres z^ et v 



' Pour transformer les unes dans les autres toutes les couronnes du plan, 

 il faut employer les antidéplacements et les déplacements, soit la totalité 

 de mouvements au sens large. 



