THÉORIE DE I-A RELATIVITÉ 287 



données homogènes en examinant brièvement un cas particu- 

 lier. 



Considérons par exemple la correspondance homographique 

 entre deux plans H et n' (qui peuvent être superposés). Comme 

 on sait, les coordonnées (X', Y') du point P' con-espondant du 

 point P(X, Y), s'expriment par les quotients de fonctions liné- 

 aires en X,Y, ayant tous deux la même fonction au dénomina- 

 teur, — et vice-versa. Introduire les variables homogènes revient 

 à faire correspondre aux points P et P' les points p(pa;, cy, ^a() 

 etp'fox'', ç,y', rA(') — oii p est un facteur de proportionnalité arbi- 

 traire — de deux espaces 0(a;, y, u) et 0'(x\ y\ u') à trois di- 

 mensions; les deux quotients sont remplacés par trois fonctions 

 entières, et à l'homographie primitive à deux dimensions se sub- 

 stitue une homographie à trois dimensions, qui conserve les 

 éléments de l'infini (Affinité). En général, on raisonnera plus 

 aisément sur cette dernière, d'où la justification de son introduc- 

 tion. Pour obtenir les figures planes correspondantes cherchées, 

 il suffit, après tout calcul Tait, de couper chacun des espaces à 

 trois dimensions parles plans n et H' perpendiculairement aux 

 axes u et u'. à la distance 1 des origines et 0'. On voit donc 

 qu'utiliser les coordonnées homogènes revient à projeter les 

 plans n et n' à partir de et 0' respectivement, c'est-à-dire à 

 substituer à la correspondance ponctuelle deux faisceaux projec- 

 tifs. Les coordonnées homogènes d'un point P d'un espace à 

 H dimensions, sont alors les coordonnées ordinaires d'un point 

 d'un espace auxiliaire à n + 1 dimensions, situé sur le rayon qui 

 projette le point P à partir de l'origine des coordonnées. 



De ce qui précède, retenons bien ceci, qui nous sera très utile 

 plus tard : u et u' sont essentiellement des variables; mais l'ho- 

 mographie cherchée s'obtient en leur attribuant, à Tune comme 

 à l'autre, la valeur particulière 1 dans les formules finales. 



Une fois en possession des expressions analytiques des grou- 

 pes de déplacements, il s'agit de construire 1rs cinématiques 

 correspondantes, c'est-à dire d'exprimer les coordonnées qui 

 définissent les déplacements particuliers à chacun d'eux en fonc- 

 tion d'un paramètre t, auquel nous pourrons attribuer le rôle du 

 temps. 



Le problème consiste à fixer la forme de ces fonctions. Or, 



