THÉORIE DE LA RELATIVITÉ 313 



la courbe décrite par son image, nous devrons appliquer une 

 autre règle, et il sera parfaitement possible d'établir une formule 

 qui permette de calculer directement la vitesse de cette image 

 lorsqu'on donne la vitesse de l'insecte sur la surface et celle du 

 système surface-lentille par rapport au papier. 



Cela dit, envisageons la transformation (I). Nous allons en 

 déduire deux règles fondamentales pour la composition des 

 vitesses. Appelons respectivement q^x, q^y,q^.■,c^ ; g.^^., ?._,,/, g.,;, c^ 

 les dérivées par rapport à t des variables x^,y^, z^, n,; x^, y^, 

 Z.2 , 11.^ ; ces dérivées seront elles-mêmes, dans le cas général, 

 des fonctions de t. Nous obtenons le système : 



fJix = ?(''/2x + «^2» ■' «'i = ÏMc. + «'/l'^c) ■- '/iv = 72y ■' 



•(II) 



qui donne ce que nous appellerons la règle de composition e:ï;^e- 

 rieure des vitesses. 



La règle de composition iw^érze^^re s'obtient en rapportant les 

 vitesses à leurs horloges-mères respectives. A cet effet, nous trai- 

 terons les vitesses comme des quantités homogènes. Le système 

 (II) représente alors une homographie, ce qu'on pourrait nom- 

 mer une a homographie cinématique » dans un espace représen- 

 tatif à quatre dimensions. Pour avoir les vitesses dans l'espace à 

 trois dimensions, nous formerons les quotients par rapporta 

 c^ et à Co, et nous donnerons à ces dernières la valeur particu- 

 lière Cq, comme on le ferait pour des coordonnées spatiales. On 

 obtient ainsi le système: 



I 



Cest la règle de composition des vitesses d'Einstein exprimée 

 en fonction du paramètre t, comme il est facile de le vérifier di- 

 rectement. 



• La figure 3 montre les relations projectives entre les q, Q, c, , 

 «2, Cq, toujours à l'aide d'un système de variables auxiliaires 

 imaginaires. 



Les formules (II) forment un groupe identique au groupe de 

 Lorentz. Les formules (III) forment un nouveau groupe, prove- 



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