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SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIÈME DEGRÉ, 
et on parvient à l’équation 
(a? +52 +k? U) TGD ep —2bk (ka) a? ty? — 
— Zake (ak)? +y? —2 ab (a? + y*—ka) = 0. 
Cette équation est bien celle de la courbe, mais l'étude reste 
trés incompléte tant qu’on ne fait pas disparaitre les radicaux. 
Observons, à cet effet, qu'on doit parvenir à un résultat où ¢, ete, 
n’entrent qu'à un degré d’ordre pair; observons encore que le 
signe de Tx? +y? et de L/(x—k)? +y? peut être positif ou 
négatif. 
Posant 
a? db? + ke —l?=m?, 
—2bk(k—x)—=9p*, 
—2akx—=q, 
—2ab(x? + y? —kx)=s' 
l'équation devient 
me, +p 0, + qe, + st —0. 
Cette équation doit étre vérifiée pour les valeurs positives et 
négatives de oe, et de v,; elle ne sera complète que par la sub- 
stitution ¢, et e, positifs; oe, positif, e, négatif; », négatif, 0, po- 
sitif; o, et o, négatifs. Le produit des premiers membres après 
ces substitutions mène à l'équation 
(m20,, tp or tg erts) (mere + p*e, nr s*) 
Em'ee, po; + G30, +8") (m?e,0,—p?e,—q?e, +st)—0. 
Abrégeons encore en écrivant 
(A+B+C+ D)(—A+B—C+ D)(—A—B+ C+D) 
(A— B—C+ D)=0), 
KA + BJ? —(C + DD} \(A— B) —(C— DI =0, 
(A? — B? — C2 + D*)? —4(BC— AD)? — 0. 
En remplaçant A, B, C, D par leurs valeurs, on obtient l'équation 
(D... en) — 
EN (p? gq? —m?s*)2o,? 052 —((}. 
Nous nous bornons à quelques remarques générales qui serviront 
(introduction à la discussion. 
a. Comme p* et g* sont du premier degré en x et que s* est 
du second degré en a et y, la courbe représentée par l'équation 
(1) est du 8° degré. Nous l’appellerons C*. 
