54 SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIEME DEGRE. 
x 
b. Examinons l'intersection de C$ avec la droite à linfini. 
Posons, à cet effet, ¢, =e, =e, s' =—2abo?. L’équation (I) devient 
(mie? —p&—q® + 4a?b? 0?) 0" —4(p*q> + 2abm? 0?) 04 — 0. 
Il s’ensuit que le premier membre est divisible par 9" et que 
la courbe CS est bicirculaire 
c. Examinons encore la nature des points doubles imaginaires 
A l'infini et substituons. à cet effet, y — x + d dans l'équation (1). 
Nous déterminerons ensuite d par la condition que le coefficient 
du terme dont le degré est le plus élevé doit s’annuler pour 
obtenir la position de la tangente. La substitution y —1ix + d 
donne 
Im (Zide + d2) (2ida—2 ka + d? + k?)—4b? k?(k—x)? (2idx + d?) — 
Aa? k? x? (2 idx — 2 kx + d? +k?) + 4a? b? (2idx — kx + d*)?{? = 
4 dab k? x(k—x) + 2m? ab (2idx — kx + d?)}? (2idx + d?) 
(2ide — 2 kx + d? + k?). 
Le coefficient de #5 s'obtient en supprimant les termes de degré 
inférieur; on obtient 
18b2k?.id+8a?k?{(id—k)}? —(16)? a? b?k.id.(id—k) =0, 
ibid + (id —k)a*}? —4a?b*.1d (id—k) —0, 
ib? dd — (id — k) a7 |? = 0. 
Ce résultat montre que les deux valeurs de d coincident; il 
s'ensuit que les points cycliques sont des points de rebroussement 
de C*. 
d. Le développement de l’&quation mon- 
trerait l'absence des termes d’un degré infé- 
rieur au quatrième; il s'ensuit que « est un 
point quadruple, et, comme on aurait pu 
choisir /? comme origine aussi bien que «, 
le point /? est de même quadruple. 
4. Discussion géométrique. Degré de la courbe 
CS. Points quadruples. Conservons les mêmes 
notations et déterminons en premier lieu le 
nombre de fois que le pôle peut coïncider 
avec un des points « ou /7. Evidemment le point « deviendra pôle 
quand le bras /? B coincide avec le côté fixe « , ce qui arrive si 
3 B et Ja ont même direction ou direction contraire (la fig. 4 montre 
le premier cas). D'après ce qui précède, chaque cas se présentera 
deux fois dans le mouvement complet, le point « pourra done 
