SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIÈME DEGRÉ. 61 
dernier cas le bras le plus petit accomplira une rotation complète. 
Dans tous les autres cas les deux rotations sont incomplètes. 
En second lieu on doit tenir compte des relations entre les 
côtés nécessaires pour la réalité des tangentes en « et /? (4) et 
pour celle des asymptotes (5). 
Considérons, pour fixer les idées, le cas (7) lab k et supposons 
d’abord «+5b>1+ k. D’après la règle de Grasnor les bras a et b 
exécuteront une rotation complète. 
Reprenons la figure 4 où le point « est devenu pôle et qui est 
en harmonie avec les données. La construction du triangle « B, A, 
sera possible si B, «>A, B, —«A, ou bien a+b>l +k, ce 
qui s'accorde avec la condition. Si Z « et AB, avaient une direc- 
tion contraire, la construction serait possible si a + lb + k; ce 
qui s'accorde encore avec la condition. Les quatre tangentes au 
point « seront donc réelles. 
On trouvera de même pour le point /3 les conditions a + b>k+/ 
et 1+ b>a+k, d'où il s'ensuit que les quatre tangentes aux 
point /? sont réelles. 
La condition de la réalité des asymptotes sera, d'après ce qui 
précède, a+k>1+b,1+k>a-b, ce qui est incompatible avec 
les données, il n’y aura donc pas d’asymptotes réelles. 
Reprenons le même cas(7) et supposons en second lieul+k>a+b, 
ce qui engendre un mouvement oscillatoire de a et de b. Pour le 
point « la condition a + bl + k est incompatible avec la suppo- 
sition; la seconde condition a + lb + k au contraire est possible; 
il y aura donc deux tangentes réelles au point quadruple «. 
De même on trouvera pour le point /? la seule condition possible 
Ii+b>a+k; il y aura done deux tangentes réelles au point /. 
En examinant les conditions de la réalité des asymptotes on 
voit que la condition 1+ k>a + b est compatible avec la suppo- 
sition; le nombre des asymptotes est donc deux. 
7. Tableau de la réalité des tangentes aux points quadruples et des 
asymptotes. On pourrait examiner de deux manières chacun des 
douze cas, ce qui s'exécute sans peine; mais il est préférable de 
les réunir dans un tableau. Dans ce tableau nous avons réuni 
dans la première colonne les douze cas du quadrilatère Dans la 
seconde colonne se trouve la supposition initiale qui, dans chaque 
cas, donne lieu à deux mouvements différents; ces mouvements 
sont indiqués dans la troisième colonne par les lettres r (rotation) 
ou o (oscillation); la première lettre se rapportant au mouvement 
