SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIÈME DEGRÉ. 6 
Le facteur 9, — +, + k égalisé à zéro représente l’équation d’une 
conique dégénérée en deux droites coincidant en «P. 
En développant l'équation, comme on la fait auparavant (3) 
2 2 ; i 
et en posant o, =a? + y?, 9, —(x—k)? + y?, on verrait que le pre- 
mier membre devient divisible par y?. 
Remarquons encore que pour ia figure 10 on a 
4, — 0g = Tk 
Substituons successivement ces deux valeurs dans l’équation 
Des (e, Fes —k)—ae, le, +2, + k)—ab(e, —9, —h) = 0. 
La premiére substitution donne 
be, (er —k)—a(e, —k)e, =0, 
or 0) 6, —- dU 6, — Ki, 0, — 0. 
Ce sont les deux points doubles « et /7. 
La seconde substitution donne 
be —a(o, + k)? + abk=0, ou bien 
Les deux racines de cette équation donnent les distances « P, 
et « P,. 
Examinons maintenant les points singuliers et les asymptotes 
de la courbe. 
Points de rebroussement à Vinfini. Omettant le facteur ¢, — eg, + k, 
l’equation II peut s’écrire 
(b—a)e, er —b(k+a)e, —a(k—b)e, + (be, —ag, + abk)—0. 
La méthode appliquée auparavant (3) pour faire disparaître les 
radicaux mène à l’équation 
(IL) } (b—a)? 6, 0, — b? (k + a)? of — a? (k—b)? o + 
+ (be, —ue, + abk)2|? — 
4} ab(k + a) (k—b)—(b—a) (be, —ag, +abk) {ev 
2 
1 
La substitution ev, = eg, =e, b oe —ao,t+tabk = (b—a@) 2’, 
ab(k + a) (k—b)=0 montre que l’&quation devient divisible par 
ot; la courbe C® est done bieirculaire. 
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