68 SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIÈME DEGRÉ. 
Substituons encore y — ix + d; l’équation (II) devient 
} (6 — a)? (2idx + d?) (2ide — 2 ka + d? + k?2) — 
— b* (k + a)? (2ida +d?) —a? (k —b)? (2idx—2kx+d? +k?) + 
+ [b (2idx + d?)—a(2Qida—2ka +d? +k?) + abk]? |? = 
4 \ ab(k + a)(k—b) — (b —a) [b (2ida + d?) — 
—a(2ida—2kx +d? +k?) + 
+ abk] |? (2idx + d’)(2idx — 2 ka + d? + k?). 
Le coefficient de x* devient 
\4id(b— a)? (id—k) + 4{(ibd—iad + ak)? |? — 
— 64 | —(b—a)(ibd—iad+ak)l'id(id—k) 
Ce coefficient doit s’annuler; ce qui donne 
} 1d (td — k) (b — a)? + (thd —iad + ak)? |? — 
— 4id(id—k) (b —a)* (thd —iad + ak)? = 
bed (ud — k) (b — a)? —(ibd—1iad + ak)? |? =0. 
jid(b— a)? + ka? + 2ida(b—a) {? =0. 
Les points cycliques sont encore des points de rebroussement; 
la valeur de d devient 
comme auparavant. 
Points doubles. La construction des six points doubles dépend 
de la réalité des grandeurs “1? —a?; MI? —b?; “1? —k?. On 
voit que, pour le cas traité, la dernière valeur est la seule réelle, 
Cependant, le principe de la construction reste intact, comme on 
pourrait s'en convaincre en prenant le cas (9) lk ab où les trois 
valeurs sont réelles; le nombre des points doubles est done six. 
Leur réalité dépend des valeurs susnommées. 
Asymptotes. Les conditions de la réalité des asymptotes sont 
(voir le tableau) a + k>6+1;1+k>a+b).Commea+ k=b +l, 
on voit que deux asymptotes coincident dans la droite « /? et 
n’appartiennent pas à la courbe C®. Deux asymptotes réelles ou 
imaginaires appartiennent à celle ci; dans le cas traité elles sont 
imaginaires. 
La courbe C5 possède ainsi 8 points doubles réels ou imaginaires 
