SUR UNE COURBE PLANE DU HUITIÈME DEGRÉ. 13 
La discussion de la réalité des tangentes aux points quadruples 
et des asymptotes n'offre pas de difficultés sérieuses; nous ne nous 
y arrêterons pas. | 
12. Les deux couples de côtés adjacents sont égaux. Ce cas se 
subdivise en deux autres: on peut avoir a=l, k=b ou bien 
a—k, 1=b. Dans le premier de ces deux cas b est le côté fixe, 
dans le second a est le côté fixe; nous continuerons à supposer 
a>b. Le premier cas est une spécialisation des cas (3), (4), (7), 
(8) du tableau I; le second en est une des cas (5), (6), (10), (11). 
Les deux cas sont traités en détail par BurMesrer (Kinematik, 
p. 306); nous nous contenterons donc de montrer comment les 
résultats connus se déduisent de l’équation (I). 
Nous choisissons comme auparavant le cas (7) et nous mettons 
l’équation (I) sous la forme 
lbo, (ei —e, +) + Gey (0. —e, +k) —able, +e, + hb) 
Gites —#) =0, 
puisque ! + k=— a + b. 
Posons dans le premier facteur du premier membre de cette 
équation k=b; on trouve 
bo,(e, —e; +b)—ae, (es +b)+a(e,;? —b?)—0, 
(be, —G@e, —ab) (8, —e2 +b) = 
Le facteur o, — 0, + b égalisé à 0 représente une conique dégé- 
nérée en la droite « /?; ainsi deux droites dont chacune doit être 
comptée double se détachent de la courbe C*; il reste donc la 
courbe 
be, —ae, = ab, 
qui doit être du quatrième degré. 
En effet, en élevant au carré les deux membres, et en posant 
092 —0,? —2bx + b?. on obtient après quelques réductions 
Qo 
(b? + a?) 0,27 — 2a? ba=—2abe, e,. 
Elevons encore au carré les deux membres; on obtient 
Oe a) 0, *—4a* bath? ra2)o, = 44% h2 2? — 
= 44a? 6? 0,2 (0,2 —2ba + b?), 
(a? —b?)? 0,4 — 4(a? —b?)a?bxo,? +4a:b?x?—4a?bto,?, 
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ARCHIVES XII. 11 
