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sible, la clarté, la généralité et la simplicité. A ce triple 
point de vue, aucune ne surpasse celle que Chasles a don- 
née dans sa « Géométrie supérieure » : mais elle suppose 
déjà connue la notion du rapport anharmonique, qu'à tort 
ou à raison on n’a pas coutume d'introduire dans l’ensei- 
gnement élémentaire. La démonstration par la méthode 
des projections, très générale aussi, n’est pas aisément 
accessible aux jeunes élèves, pour lesquels elle ne parle 
pas assez aux yeux. A mon avis, basé sur de multiples 
expériences, la démonstration la mieux appropriée à l’en- 
seignement élémentaire est celle qui s'appuie sur le théo- 
rème de Ptolémée, parce qu’elle est extrêmement simple et 
se prête sans difficulté à la généralisation. Le principe en 
est connu depuis longtemps pour le calcul de sin (a + b): 
mais, à ma connaissance, sa généralisation et son appli- 
cation aux autres formules analogues n’ont jamais été 
publiées. C’est cette lacune que je me propose de combler 
dans la présente note. 
La démonstration repose sur les principes suivants : 
1° Dans tout quadrilatère inscrit, le produit des diago- 
nales équivaut à la somme des produits des côtés opposés. 
2° Dans un cercle du rayon 4, le sinus d’un arc a pour 
mesure la demi-corde de l'arc double. 
. : ILE ë - 
3° Quelque soit l'arc x, sin (x — —) = — 0608 æ, sin (x — 7) = — sin x, 
si T 
Sin (+ =) = COS À, COS (—%) = cos à. 
I. Calcul de sin (a 4- b). Portons sur une circonférence 
LS LES s à : 
de rayon 1! CD = 2a, CE — 2b; menons le diamètre CF. 
et construisons le quadrilatère. La figure donne 
FES RS ES 
DEF = 2a — x, DE — 2%a + 2b — 2x, EF = 20 — 7; 
et par suite 
| CD = 2 sin a DEF — 2? sin (a — = — —- 2 cos a CF — 2 
{CE =%sinb DE = 2 sin (a +b— 7x) = —2 sin (a + b) 
: T 
EF = 2 sin (b — —) — — 2 cos b. 
