— 755 — 
представлении непрерывныхъ Функшй при помощи полиномовъ, считающейся 
основной въ теорш Функшй вещественныхъ перемфнныхъ. 
Теория замкнутыхъ ортогональныхъ системъ и вс вытекаюция изъ 
пея слБдстйя были поставлены такимъ образомь въ зависимость отъ этой 
послБдней теоремы, которая предполагалась установленной напередъ. 
Въ предлагаемомь мемуарБ я устанавливаю основныя теоремы 
моего изслБдовашя совершенно независимо отъь упомянутой выше теоремы 
Вейерштрасса путемъ сравнительно элементарныхь разсужденй, поль- 
зуясь лишь рядомъ Тайлора и особыми вводимыми мною вспомогательными 
ФУНКЩЯМИ. 
Я разематриваю сначала случай системъ ортогональныхъ функщй, за- 
висящихъ оть одной вещественной перемфнной, а затмъ распространяю 
полученные результаты па случай какого угодно числа независимыхъ пере- 
МЬННЫХЪ. 
Различныя примфневя теоремъ общаго характера, установленныхъ 
только что указаннымъ путемъ въ двухъ первыхъ главахъ предлагаемаго 
мемуара, въ особенности ихъ примБнешя ‘къ р5шеню задачъ о разложении 
произвольныхъ ФункщИ въ ряды по хункшямъ даннаго вида, указаны были 
мною въ мопхъ предыдущихъ работахъ. 
Въ послБдней (третьей) глав настоящаго мемуара я указываю новыя 
приложешя полученныхъ мною результаловъ къ теор ортогональныхъ по- 
линомовъ, зависящихъ отъ какого угодно числа независнмыхъ перемфнныхъ. 
Я доказываю прежде всего, что для всякой замкнутой п конечныхъ 
размБровъ области (0) какого угодно числа 7 перемфнныхъ и при всякой 
напередъ заданной Функши р, положительной въ области (0), можно по- 
строить рядъ ортогональныхъ пезависимыхъ между собою полиномовъ по- 
слБдовательно нулевой, первой и т. д. какой угодно той степени. 
Опред$леше коэффищентовъ этихъ полиномовъ приводится къ рёшешю 
системъ линейныхъ алгебраическихъ уравнешй такихъ, что ихъ опредфли- 
тель всегда равенъ опредфлителю н$которой квадратичной положительной 
Формы. 
Построеше такихъ полипомовъ оказывается поэтому всегда возмож- 
нымъ, при чемъ обнаруживается, что число всфхъ различныхъ полиномовъ 
данной степени  какъ разъ равно числу коэффищентовъ однороднаго поли- 
нома степени й, ачиело веБхь различныхъ полиномовъ степеней отъ нулевой 
до той включительно какъ разъ равно числу коэфФищентовъ произвольнаго 
полинома степени К. 
Изъ этого простого факта сейчасъ же слфлуетъ, на основании общихъ 
ИзвБемя И. А. Н. 1911. 
