— 756 — 
теоремъ двухъ первыхъ главъ, что основное равенство, которое я пазываю 
уравнешемь замкнутости, имЪетъ мЪето для полиномовъ, о которыхъ идеть 
рЪчь, всегда, коль скоро произвольная Функщя, входящая въ уравнене зам- 
кнутости, интегрируема въ данной области (0) перем5нныхъ, оть которыхъ 
она, зависитъ. 
Для случая одной перемфнной полиномы, о которыхъ пдеть рЪчь, 
обралщаются въ полиномы Чебышева. 
Если, въ случа$ двухъ перемфнныхъ, за область (12) примемъ площадь, 
ограниченную эллипеомъ, получимъ обобщене полиномовъ Г. Орлова, для 
случая круга полиномы Орлова и т. д. 
Я останавливаюсь па хорошо изученныхъ полиномахъ Г. Орлова и, 
какъ примфръ примфнешя уравнения замкнутости, доказываю слБдующую 
теорему: 
Всякая Фхункщя Кх,у), им5ющая частныя производныя первыхъ четы- 
рехъ порядковъ внутри даннаго круга, разлагается въ абсолютно и равно- 
мфрно сходящийся рядъ, расположенный по полиномамъ Г. Орлова. 
Для другого примфра я разсматриваю р5шене слБдующей задачи: 
Найти Функщю /(%,,5,, ... 7), интерируемую внутри данной области (1), зам- 
кнутой и конечныхъ размфровъ, подъ условемъ, чтобы 
: ; в № т 
[2 Яо Фр а В 
(р) 
при всякихъ цфлыхъ значеняхъ чисель №, м... м„ [р есть положительная 
непрерывная Функшя внутри (1))]. 
Р5шеше этой задачи вытекаеть непосредственно изъ условя замкну- 
тости ортогональныхъ полиномовъ, соотв5тетвующихъ данной области (0) и 
данной Фхункцш р и приводитъ къ теорем$: функшя [(%,,..., х„)равна нулю 
во всфхъ точкахъ области (02), гдЪ эта хункщя непрерывна. 
Для случая одной перем$нной, предполагая, въ частности, что [ пепре- 
рывна, а 2—1, получимъ извЪстную теорему ЗНе1]ез?а. 
Существуеть много доказательствъ этой послфдней теоремы; два изъ 
нихъ были даны самимъ 5е141]ез’омъ, друмя, въ болБе позднее время, 
были предложены, между прочимъ, ГегсВ’омъ и Рьгастёп’омъ и, нако- 
нецъ, въ самое послБднее время появились доказательства Е. Гап4аи и 
СВ. Моог’а. | 
ВсЪ эти доказательства отличаются большой сложностью, мномя изъ 
нихъ носять трансцендентный характеръ, друйя выводятся изъ теоремы 
Вейерштрасса. 
