138 Weiss: Theorie der IJcxalds-Oclacder 



worin sich sogleich der bekannte Lehrsatz ausspricht: dafs die Summe der 

 Quadrate der Sinus dieser drei Winkel = 1, imd die Summe der Qua- 

 drate der Cosinus =2; das Verhältnil's der Sinus zu einander aber ist 

 = 1 : « : 7i', also rational, wenn n und n es selbst, wie in jedem Fall, wenn 

 es wirkliche krystallonomische Werthe sind. 



Demnächst die 6 verschiedenen Neigungen der geschriebenen Fläche 

 gegen die 6 mittleren Dimensionen, die mittleren nemlich zwischen je 

 zwei der 3 rechtwinklichen Grunddimensionen. Um sie von einander zu 

 unterscheiden, wollen wir die beiden, welche auf« senkrecht sind, oc und a', 

 die, welche es auf ä, /3 und /3', und die, welche es auf c sind, 7 und 7' nen- 

 nen, die unaccentuirlen Buchstaben aber für diejenigen gebrauchen, welche 

 in unserem Zeichen, Fig. 2. der Kupfertafel, in den Mitten der Seiten des 

 Dreiecks, die accentuirten aber für diejenigen, welche in den Verlänge- 

 rungen derselben ihre Stelle haben und welche im allgemeinen positiv oder 

 negativ sein (den Verlängerungen in der angegebenen oder der entgegen- 

 gesetzten Richtung entsprechen) können, an den Stellen, welche die Fig. 2. 

 angiebt, aber wirklich positiv sind, wenn, wie vorausgesetzt wurde, n>n'>\. 

 Es wird sonach a. diejenige mittlere Dimension sein, in welcher der geschrie- 

 benen Fläche (a =: 1 gesetzt) der Werth ^-r^, a' diejenige, in welcher ihr 

 der Werth -A-. ß die, in welcher ihr -r^, ß' die, in welcher ihr -7^, 7 die, 

 in welcher ihr — —, und 7' die, in welcher ihr — — zukommt. 



Da nun z. B. für die Neigung der Fläche gegen a 



Vi 



1/2 



sm : cos = — — : — = n + n '. yin — in' -\- 2 u. s. i. 



V.^ n-i-n ^ 



(«-") 



SO ergeben sich die Neigungen der geschriebenen Fläche gegen die 6 mittle- 

 ren Octaederdimensionen leicht folgendergestalt : 



4) gegen die mittl. Dim. «, sin : cos : rad = n'+ n '. ]/(«'— M)^-i- 2 : ^2{n"^+n-+\) 



5) » » .) » rt', » : » : » =7j'— «:}/(«'-+- 7z)^-j- 2 :]/2(n'-+7i-'+i) 

 T)) >. .. » » /3, » : » : » =7j'+i :V(7/— 1)^^-1-2/?,- :l/2(7i'^+7i--4-i) 



7) » » .. » ß\ » : i> : » =n'—i '.y {n + \)-+:n- ',V z{ji''+Ji''+\) 



