des regulären Kjystallsjslems. .\ 139 



8) gegeu die mittl. Dim. 7, sin:cos:rad = 7z+i : y{ji — \y^+2n''''.y2{7i-+n'^-{-i) 



9) .. » » » 7', » : » : » =71— 1 :]/(«+ i)'+2n"':yi:(7t'^+?2'+i) 



folglich verhalten sich die Sinus dei- 6 Neigungen, wie die Gröfseu 

 n + n '. n — n \ li-^ i : n — \'.n-\-\'.n — 1 , 



also rationell, wenn diese selbst es sind. 



Die Summe der Quadrate dieser 6 Grüfsen aber ist A{ii^-\-n^-\-\) (*), 

 die der 6 den Cosinus entsprechenden Gröfsen aber S(72'"+7?"-4- 1), während 

 das Quadrat der dem Radius entsprechenden = 2(7?"^+ 77"+ 1). 



Also ist die Summe der Quadrate der Sinus der 6 Neigungen 

 = 2, die der Quadrate der Cosinus = 4. 



§.3. 



Ferner die 4 verschiedenen Neigungen der geschriebenen Fläche ge- 

 gen die 4 kleinsten Octaederdimensionen, d. i. die mittleren zwischen 

 je drei rechtwinklichen , oder senkrecht auf den Octaederilächen, vgl. das 

 Zeichen in Fig. 3. 



Rechtwinklich sind auf jeder der kleinsten Octaederdimensionen drei 

 der mittleren, und imter sich GOgradig ; auf der im Mittelpunkt des Dreiecks 

 geschriebenen nemlich sind es -i — , -f — , ; auf der mit dem Werthe 



n—ii' n — V II — l 



"■•id es ——, -r^^-, -r^; auf der mit dem Werthe -7—! sind es 



smc 



n — 1 n + l n'-t-t n'—ii^ ii'-t-l — n 



-, -p — , -r^; luid auf der mit dem Werthe ■ „ oder dem entgegen- 



.. . . ..... n'-l' n-hl — n" " Ö 



1/3 .1 1 .11-1 V2 V2 V'l 



gesetzten —r-^ smd recht wmkiich -f — , -i- — , — — . 



" n — n — l n-hi n-t-iV n — l 



(') Der Lehrsatz ist allgemein: Werden 3 Grofsen a, &, c, positiv und negativ, binär 

 combinirt, wie oben die Gröfsen n', n, l, so ist die Summe der Quadrate ihrer binären 

 Combinationen (die entgegengesetzten ausgeschlossen, deren Quadrate den vorigen gleich sind) 

 jederzeit r= 4(«'"-HA"-+- 1"^). Werden sie in gleicherweise ternär combinirt (vgl. den fol- 

 genden §.) als o + i-f-c, a-i-b — f, a — Ä-f-r, a — b — c (die entgegengesetzten wieiler aus- 

 geschlossen), so ist die Summe der Quadrate ihrer 4 ternären (>ombinatlonen -wiederum 

 = 4(«^-f-i'''' + c^). Verfährt man mit 4 Gröfsen «, ä, r, d eben so, so wird die Summe der 

 Quadrate ihrer 12 binären Combinationen = 6(a^-f-i'-f-c--|-rf-), ihrer 16 ternären Com- 

 binationen = 12(o'^-f-i"-f-c"-f-rf'), und ihrer 8 quaternä ren = 8(a''-f-Ä '-f-c--f-rf-); der 

 Zahlencoefficient 4, 6, 8, 12 jederzeit gleich der Zahl, in welcher das einzelne Glied in solchen 

 Combinationen wiederkehrt. 



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