142 Weiss: Theorie der Hexahis-Octacdei' 



§.4. • • ■ ■• ■ 



Die Neigungen der Kanten des Körpers gegen die verschiedenen 

 Axcn liegen ganz unmittelbar in imserem Zeichen ausgedrückt durch das 

 Verhältnifs zweier Linien, davon die eine, die Cosinuslinie der gesuchten 

 Neigung, die jedesmal in Rede stehende Axe selbst, die andere, die Sinus- 

 linie, eine auf ihr senki-echte ist, vrelche gleichfalls im Zeichen sich findet. 

 So ist 



1) für die Neigung der gebrochenen Octaederkante (') gegen die Grund- 

 dimension c offenbar 



11 , , ' 



sm : cos z= — ; —^ ■= n '.n ., 



n n 



das umgekehrte gilt für ihre Neigung gegen die Grunddimehsion b. 



2) für die der gebrochenen Octaederkante gegen die kleinste der mittle- 

 ren Dimensionen, d. i. gegen a (§.2.) 



1/21/2 / , 



sin : cos =: -f — : ~i — z= n + n'.n — n 



n — n n -+- n 



das umgekehrte gilt für ihre Neigung gegen die mittlere Dimension a (§.2.) 



3) für die der Granatoidkante gegen die Grunddimension c 



sin : cos =: — — : — = n' 1/2 : ?i + 1 



11 -hl n 



das umgekehrte gilt für ihre Neigung gegen die mittlere Dimension 7 (§'2.) 



4) für die der Granatoidkante gegen die kleinste Octaederdimesion, oder 

 die Axe der Würfelecke 



n'(n'—n — l)-t-n(n—l)-l-i = n'" -t- n^ -h i — nn — n' — n 

 n'(n'— n + 1) -i- n(n -hl) -h 1 = n'^-hn^-ht — nn'-hn'-hn 

 n'{n'-i-n — l) -h n{n-hl) -h l — n'"-hn^-h i-hnn'—n'-hn 

 n'(n'-i-n-hi) -h n (n — i) -h i = n'^-hn'^-h i -i-nn'-hn'—n 



=^n"+n'-hl) 



SO ergiebt sich sogleich, dafs die Summe = 4(«'^+«'^-l-l) und ihr Doppeltes = 8(n'--hn^+i). 

 Man wird die Bemerkung machen können, dafs die Vorzeichen, -f- oder — , der Pro- 

 ducte von n',. n und 1 in einander iiherall die entgegengesetzten sind von den ent- 

 sprechenden im Divisor des Dimensionswcrthes, worauf sie sich bezielien. 



(') s. die Anm. S.144. , ,, 



