146 Weiss: Theorie der Hexalcis-Octaedcr 



während das Quadrat des Radius = 6(/j'-+7i^+i). Also ist die Summe 

 der Quadrate der Sinus der 12 Neigungen = 4, die der Quadrate 

 der Cosinus = 8. 



Es ist nicht nöthig auszusprechen, dafs das Verhältnifs der Sinus der 

 12 Neigungen unter einander wiederum das rationelle der Gröfsen 2n-\-n-\-i. 

 U.S. f., d.i. der jedesmaligen Divisoi'en in dem Ausdrucke des Wcrthes ist, 

 welcher der Fläche in der in Rede stehenden Leucitdimension zukommt. 



' §. 6. . 



Stellen wir die Lehrsätze der §§. 1. 2. 3 imd 5., betreffend die Sum- 

 men der Quadrate der Sinus und Cosinus der Neigungen der gegebenen 

 Fläche gegen die vei'schiedenen Dimensionen, die ursprünglichen und die 

 abgeleiteten Axen des Systems, zusammen, so hatten wir für die Neigungen 

 der Fläche 



gegen die 3 rechtwinkllchen Axen, die Summe der Quadrate der Sinus = 1, der Cosinus =2 



■n 11 6 mittleren Oct. Dim. « n ii ii " " = 2, n n ^4 



11 n 4 kleinsten Oct. Dim. ii " " " " n =T' " " ^"f" 



11 11 12 Leucitdini. " " " " " " = 4, " " =^ 8. 



Es leuchtet ein, dafs, wenn n die Zahl der gleichartigen Dimensionen 

 einer bestimmten Art ist, die 4 I^ehrsätze sich unter dem einen gemeinschaft- 

 lichen zusammenfassen lassen, dafs 



die Summe der Quadrate der Sinus = \n 

 die Summe der Quadrate der Cosinus =-j" 



oder, anders ausgedrückt: dafs das Verhältnifs der Summe der Quadrate 

 der Sinus zu der Smnme der Quadrate der Cosinus = 1:2 ist; denn da die 

 Summe beider Summen = ?/ sein mufs, so folgt aus dem gegebenen Ver- 

 hältnifs 1:2, dafs die erstere Summe =-^n, die zweite =-j« sein müsse. 



Ob der Lehrsatz in dieser allgemeineren Form sich in Bezug auf alle 

 und jede Gattungen von Dimensionen bewähren werde, wie das Schema der 



Combinationen, 4(;i'^-{-«-'-f-l), mit 3.2 multiplicirt, = 24(«'"-l-"''-f-0; j^'^^ ^^r ternären 

 Combinationen aber, wie 'i'H-/)H-l, /;' — ti — 1 11. s. f. kommt 3mal vor, also die Summe der 

 Quadrate der ternären Combinationen, 4(«'" H- f!" -f- 1), wiederum mit 2.3 multiplicirt, 

 = 24(n'^-f-n^+l), giebt die Summe der Quadrate sämmtlicber die Cosinus ausdrückenden 

 Gröfsen = 48(n'"+?i'--f-l); vgl. den Lehrsatz §.2. S. 139. Anm. 



