176 Weiss: Theorie der Ilexakis-Octaeder 



Flächen \a'.a'. -^a \ und das vorhin bei der Diagonalzone des Octaeders er- 



örterte niedrige Leucitoid mit den Flächen Ta : a : -f « in der Anschau- 



ung gegenwärtig zu haben. Der Augenschein lehrt schon, dafs das letztere 

 den schärferen ebnen Winkel von beiden an der mittleren Ecke habe, 

 ja dafs er nicht allzuweit von dem absoluten Minimum bei ihm entfernt sein 

 könne. 



Nun ist für das Leucitoid, dessen Zeichen a:a:-^a\ ist, eins der 



beiden, n oder n' der obigen Formeln = 1, folglich verwandelt sich die 



Formel für den ebnen Winkel an der mittleren Ecke, i ■ 



sin : cos = (7i'+7j)K«'"-t-7z"+i : n' — n 



ni 



die, sin : cos = (71-h 1) jZ/i'-i-s :n—i ('). 



Also ist die Tangente des Winkels = ^!^y7i'-i-2; und die Auf- 

 gabe verwandelt sich also in diese : welches ist der Werth von n, bei wel- 

 chem die Gröfse ^^l^/i'+a ein Minimum wird? 



Die Entwickelung gab die Gleichung 



,3 



n^ — 27i" — n — 4 ^ 

 und diese nach der Cardani'schen Formel 



(') Als Rechnungsprobe mag dienen die Construction der allgemeinen Formel für diesen 



'. ' 

 a , a . — a 



ebnen Winkel am Leucitoid a:a: — a , wenn man sie an ihm als solchem aufsucht. Man 

 darf sich dann nur die P'Iäche desselben durch beide Diagonalen, die Längendiagonale und 

 die Queerdiagonale, getheilt denken, welche beide jederzeit sich rechtwinklich schneiden, 

 und von denen die erstere die zweite jederzeit halbirt, von ihr aber in zwei verschie- 

 dene Stücke zerschnitten wird, die sich allgemein verhalten, wie n-i-2'.n, so ist klar, dafs 

 der ebene Winkel an der mittleren Ecke die Summe ist der Complemente zu 90° des hal- 

 ben ebnen Winkels an der Octaeder- und des an der Würfelecke. Für ersteren ist 



sin : cos := n : Vn' 

 für letzteren 



sm : cos ^ n-i-2'. y n ■'-+■ 2 

 Der ebene Winkel an der mittleren Ecke ist also die Summe der Winkel 



sm : cos = < .1 



folglich ist für ihn • '•' *' ' ' 



'•< sin : cos =: (n-t-i) Vn'--{- 2: n — i, wie oben. 



