Beweis des Satzes, dafs jede unbegrenzte arithmetische 



Progression, deren erstes GHed und Differenz ganze 



Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, 



unendlich viele Primzahlen enthält. 



Von / 



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[Gelesen In der Akademie der Wissenschaften am 27. Juli 1837.] 



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ie aufmerksame Betrachtung der natürlichen Reihe der Primzahlen läfst 

 an derselben eine IMenge von Eigenschaften wahrnehmen, deren Allgemein- 

 heit durch fortgesetzte Indnction zu jedem beliebigen Grade von ^^ ahr- 

 scheinlichkeit erhoben werden kann, während die Auffindung eines Beweises, 

 der allen Anforderungen der Strenge genügen soll, mit den gröfsten Schwie- 

 rigkeiten verbunden ist. Eines der merkwürdigsten Resultate dieser Art bie- 

 tet sich dar, wenn man sämmtliche Glieder der Reihe durch dieselbe übri- 

 gens ganz beliebige Zahl dividirt. Nimmt man die Primzahlen aus, die im 

 Divisor aufgehen und mithin unter den ersten Gliedern der Reihe vorkom- 

 men, so werden alle übrigen einen Rest lassen, welcher relative Primzahl 

 zum Divisor ist, und das Resultat, welches sich bei fortgesetzter Division 

 herausstellt, besteht darin, dafs jeder Rest der genannten Art unaufhörlich 

 wiedei'kehrt, und zwar so, dafs das Verhältnifs der Zahlen, welche für irgend 

 zwei solche Reste bezeichnen, wie oft sie bis zu einem gewissen Gliede er- 

 schienen sind, bei immer weiter fortgesetzter Division die Einheit zur Grenze 

 hat. Abstrahirt man von der zunehmenden Gleichmäfsigkeit des ^ orkom- 

 mens der einzelnen Reste und beschränkt das Beobachtungsresultat auf die 

 nie aufhörende Wiederkehr eines jeden derselben, so läfst sich dasselbe in 

 dem Satze aussprechen: «dafs jede unbegrenzte arithmetische Reihe, deren 

 »erstes Glied tmd Differenz keinen gemeinschaftlichen Factor haben, un- 

 « endlich viele Primzahlen enthält.« 



