40 DiRiCHLET : Beweis, dafs jede unhegrcnzte arithvi. Progression ii. s. «•. 



Für diesen einfachen Satz existirte bis jetzt kein genügender Beweis, 

 wie sehr auch ein solcher wegen der zahheichen Anwendungen zu wünschen 

 war, welche von dem Satze gemacht werden können. Der einzige Mathema- 

 tiker, welcher die Begründung dieses Theorems versucht hat, ist, so viel ich 

 weifs, Legendre ('), für den diese Untersuchung aufser dem Reiz, welcher 

 in der Schwierigkeit des Gegenstandes liegt, noch ein ganz besonderes In- 

 teresse durch den Umstand haben mufste, dafs er die erwähnte Eigenschaft 

 der arithmetischen Progression bei früheren Arbeiten als Lemma benutzt 

 hatte. Legendre macht den zu beweisenden Satz von der Aufgabe ab- 

 hängig, die gröfste Anzahl auf einander folgender Glieder einer arithmeti- 

 schen Reihe zu finden, welche durch gegebene Primzahlen theilbar sein 

 können, löst aber diese Aufgabe nur durch Induction. Versucht man, die 

 auf diese Weise von ihm gefundene, durch die Einfachheit der Form des 

 Resultats höchst merkwürdige Auflösung der Maximumsaufgabe zu be- 

 weisen, so stöfst man auf grofse Schwierigkeiten, deren Überwindung mir 

 nicht hat gelingen wollen. Erst nachdem ich den von Legendre einge- 

 schlagenen \^ eg ganz verlassen hatte, bin ich auf einen völlig strengen Be- 

 weis des Theorems über die arithmetische Progression gekommen. Der von 

 mir gefundene Beweis, welchen ich der Akademie in dieser Abhandlung vor- 

 zulegen die Ehre habe, ist nicht rein arithmetisch, sondern beruht zum Theil 

 auf der Betrachtung stetig veränderlicher Gröfsen. Bei der Neuheit der da- 

 bei zur Anwendung kommenden Principien hat es mir zweckmäfsig geschie- 

 nen, dem Beweise des Theorems in seiner ganzen AUgmeinheit die Behand- 

 lung des besonderen Falles voraus zu schicken, in welchem die Differenz 

 der Progression eine ungerade Primzahl ist. 



Es sei p eine ungerade Primzahl und c eine primitive Wurzel dersel- 

 ben, so dafs also die Reste der Potenzen 



bei der Division durch p, wenn man von ihrer Ordnung absieht, mit den 

 Zahlen i, 2, 3, ... p — i zusammenfallen. Ist n eine nicht durch p theilbare 



(') Theorie des Nonibres. k'^"" Partie. §. IX. 



