unendlich viele Primzahlen enthält. AI 



Zahl, so Averden wir mit Gaufs den Exponenten y<.p — i, welcher der Con- 

 gruenz c^^n (mod.p) genügt, den Index von n nennen, und falls es nölhig sein 

 sollte, mit y„ bezeichnen. Die Wahl der primitiven Wurzel c ist gleichgültig, 

 nur soll angenommen werden, dafs man die einmal gewählte nicht ändere. 

 In Bezug auf die eben definirten Indices gilt der leicht zu beweisende Satz, 

 dafs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das 

 darin enthaltene Vielfache von p — i vermindert, gleich ist. Ferner bemerke 

 man, dafs immer 7, = 0, y^, = ^^^, so wie dafs 7„ gerade oder ungerade 

 sein wird, je nachdem n Quadratrest oder Nichtquadratrest von p ist, oder 

 mit Anwendung des Legendreschen Zeichens, je nachdem (— )= + i oder 



Es sei nun q irgend eine von p verschiedene Primzahl (2 nicht ausge- 

 geschlossen) und s eine positive die Einheit übersteigende Gröfse. IMan be- 

 zeichne ferner mit u irgend eine Wurzel der Gleichung 



w^-'— 1 = 0, (1) 



und bilde die geometrische Reihe 



1' 



in welcher 7 den Index von q bedeutet. Denkt man sich für q alle von p 

 verschiedenen Primzahlen gesetzt, und multiplicirt die so entstehenden Glei- 

 chungen in einander, so erhält man auf der zweiten Seite eine Reihe, deren 

 Gesetz leicht zu erkennen ist. Ist nämlich ii irgend eine nicht duich p theil- 

 bai'e ganze Zahl, und setzt man n=:q''" q""" ..., wo q', q" , ... verschiedene 

 Primzahlen bezeichnen, so wird das allgemeine Glied die Form haben 



W 



Nun ist aber 



w'Y/ + w'V, +... = % (mod. p — i), 



und folglich wegen (1) 



my .-t-my ..-t-... y^ 



W = W . 



Man hat daher die Gleichung 



U~-^ = X<^'-ir = L, (3) 



1 — w^— 



1 



