48 DiRiCHLET : Beweis, clafs jede unbegrenzt arilhm. Progression u. s. h: 



wo sich das IMultiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit 

 alleiniger Ausnahme \on p, erstreckt, während die Summation sich auf alle 

 ganzen Zahlen von i bis oo bezieht, welche nicht durch p theilbar sind. Der 

 Buchstabe y bedeutet auf der ersten Seite 7^, auf der zweiten dagegen y„. 



Die eben gefundene Gleichung repräsentirt p — 1 verschiedene Glei- 

 chungen, welche man erhält, wenn man für w seine p — i Werthe setzt. Be- 

 kanntlich lassen sich diese p — 1 verschiedenen Werthe durch die Potenzen 

 von einem derselben P. dai-stellen, wenn dieser gehörig gewählt wird, und 

 sind dann 



Wir werden, dieser Darstellung entsprechend, die verschiedenen Wer- 

 the L der Reihe oder des Pi-oducts mit 



L01 L^, L,, ... L^_„ (4) 



bezeichnen, wobei es einleuchtet dafs L^ und JjpjzL eine von der Wahl des 

 Werthes n unabhängige Bedeutung haben und sich resp. auf uu =z i, w = — 1 

 beziehen. 



Ehe wir vs'eiter gehen, ist es nöthig, den Grund der oben gemachten 

 Voraussetzimg anzugeben, nach welcher *>i sein sollte. Man überzeugt 

 sich von der Nothwendigkeit dieser Beschränkung, wenn man auf den we- 

 sentlichen Unterschied Rücksicht nimmt, welcher zwischen zwei Arten von 

 luiendlichen P\eihen Statt findet. Betrachtet man statt jedes Gliedes seinen 

 Zahlenwerth oder wenn es imaginär ist, seinen Modul, so können zwei Fälle 

 eintreten. Es läfst sich nämlich entweder eine endliche Grofse angeben, welche 

 die Summe von irgend welchen und noch so vielen dieser Zahlenwerthe 

 oder Moduln stets übertrifft, oder diese Bedingung wird von keiner noch so 

 grofsen aber endlichen Zahl erfüllt. Im ersteren Falle ist die Reihe immer 

 convergirend und hat eine völlig bestimmte Summe, welche von der Anord- 

 nung der Glieder ganz unabhängig ist, sei es nun, dafs diese nur nach einer 

 Dimension, sei es, dafs sie nach zwei oder mehr Dimensionen fortschreiten, 

 und eine sogenannte Doppel- oder vielfache Reihe bilden. Im zweiten der 

 eben imterschiedenen Fälle kann zwar die Reihe auch noch convergiren, 

 aber diese Eigenschaft, so wie die Summe der Reihe, werden wesentlich 

 durch die Art der Aufeinanderfolge der Glieder liedingt sein. Findet die 

 Convergcnz für eine gewisse Ordnung Statt, so kann sie durch Änderung 



