unendlich viele Primzahlen enthält. 49 



dieser Ordnung aufhören, oder es kann, wenn dies nicht der Fall ist, die 

 Summe der Reihe eine ganz andere werden. So ist z. B. \on den beiden 

 aus denselben Gliedern gebildeten Reihen 



1 1 1 1 I 



11111 



^ \i \'2 ^ \'S \'7 )/.'. 



nur die erste convergirend, während die folgenden 



11111 

 1 — ■ — I 1 \- ... 



2 3 4 5 6 



11111 

 j 2 5 7 4 



zwar beide convergiren, aber keinesweges dieselbe Summe haben. 



Was nun unsere imendliche Reihe L betrifft, so gehört diese, wie 

 leicht zu sehen ist, nur dann in die erste der beiden eben unterschiedenen 

 Klassen, wenn man s > i annimmt, so dafs also unter dieser Voraussetzung, 

 wenn man L=.K+iJiV — i setzt, A und /^ -völlig bestimmte endliche Werthe 

 sind. Bezeichnet man nun m\.if,„~^g,„\— i das Product der m ersten Facto- 



ren der Form , diese Factoren in einer beliebigen Ordnung gedacht, 



1 _ „V -I- 



so wird man immer m so grofs nehmen können, dafs sich unter diesen m er- 

 sten Factoren alle diejenigen befinden, in denen q<.h ist, wo h irgend eine 

 ganze Zahl bezeichnet. Sobald vi diesen Grad von Gröfse erreicht hat, wird 

 offenbar jede der beiden Differenzen y^, — A, g-„, — ju, abgesehen vom Zei- 

 chen, immerfort kleiner bleiben als ~ + ThTTy + •••' '^'^'^ ^^'^^^ '"^" ^^^^ 

 auch m noch ferner wachsend denke. Unter der Annahme *> i kann aber 

 4--+- -n-^ — 7 + ... für ein eeliöri" srofses h beliebig klein werden. Es ist so- 



k' {/i + t/ ' o OD O 



mit beweisen, dafs das imendliche Product in (3) einen von der Ordnung 

 seiner Factoren imabhängigen, der Reihe L gleichen Werth hat. Ist hin- 

 gegen * = 1 oder Ä< 1, so ist dieser Beweis nicht mehr anwendbar, und in 

 der That hat das imendliche Product in diesem Falle im Allgemeinen und 

 unabhänaig von der Ordnung der Factoren keinen bestimmten Werth mehr. 

 Liefse sich bei einer gegebenen Art der Aufeinanderfolge der Factoren die 

 Existenz eines Grenzwerthes für die ins Unendliche fortgesetzte Multiplica- 

 tion nachweisen, so würde zwar die Gleichung (3), gehörig verstanden, noch 

 Mathemat. Ahhandl. 1837- G 



