50 DiRictiLET : Beweis, dafs Jede unhegi-enzte arilhm. Progressioji ii. s. w. 



Statt finden, aber zur Feststellung dieses Werthes keinen wesentlichen Nut- 

 zen mehr gewahren. Man niüfsle nämlich, wenn rf, rj", q'" , ... die der an- 

 genommenen Ordnung entsprechenden Werthe von q sind, die Reihe L als 

 eine so zu oixlnende vielfache Reihe betrachten, dafs man zuerst diejenigen 

 Glieder zu nehmen hätte, in denen /i nur Aen Primfaclor q' enthält, dann 

 diejenigen der übrigen, in denen ii keine anderen Primfactoren als q\ q' ent- 

 hält, u. s. w. Durch die Nothwendigkeit, den Gliedern diese Ordnung zu 

 geben, würde die Summation der Reihe eben so schwierig, als es die Unter- 

 suchung des Productes selbst ist, vor welchem die Reihe nur dann hinsicht- 

 lich der Einfachheit etwas voraus hat, wenn die Ordnung ihrer Glieder will- 

 kührlich ist, oder sich wenigstens nicht nach den Primfactoren in n richtet. 



Setzt man * = i + ^j so bleibt die Gleichung (3) giiltig, wie klein man 

 auch die positive Gröfse o annehme. Wir wollen nun luitersuchen, in wel- 

 cher Art sich die darin enthaltene Reihe L ändert, wenn man ^ imendlich 

 klein werden läfst. Das Verhalten der Reihe ist in dieser Beziehung ein ganz 

 verschiedenes. Je nachdem w der positiven Einheit gleich ist oder irgend ei- 

 nen andern Werth hat. Um mit dem ersten Falle oder mit der Untersuchung 

 von Lg zu beginnen, betrachten wir die Summe 



o 1 1 



in welcher h eine positive Constante bezeichnet. Schreibt man in der be- 

 kannten Formel 



für h der Reihe nach h, k-\-\, k + 2, ... und addirt, so kommt 



Addirt man — und subtrahirt zugleich — = ---^~ = — ^ — ; / los (—\ 3ar, 



e^ ° § r(i-t-f) r(H-s=)Jo "= \^) 



so geht diese Gleichung über in 



