52 DmiciiLET : Beweis, da/s jede wihcgj-ciizte arllhm. Progression u. s. w. 



die Glieder einander so folgend zu denken, dafs die Werthe von n wach- 

 send fortschreiten. Es ist nämlich unter dieser Voraussetzung So)''^ eine 

 Function von s, welche für alle positiven Werthe von s stetig und endlich 

 bleibt, so dafs also namentlich die Grenze, der sich der Werth der Reihe 

 nähert, wenn man darin *= i + ^ setzt und ^ unendlich klein werden läfst, 

 und welche von der Ordnung der Glieder unabhängig ist, durch S co'^-^ aus- 

 gedrückt ist, was bei einer andern Ordnung nicht uolhwendig der Fall wäre, 

 indem für eine solche 2w^'— von 5w''-^-r um eine endliche Gröfse verschie- 

 den sein oder auch gar keinen ^Verth haben kann. Um die eben ausgespro- 

 chene Behauptung zu beweisen, bezeichne man mit h irgend eine ganze po- 

 sitive Zahl und drücke die Summe der /i(p — i) ersten Glieder der Reihe 

 mit Hülfe der schon oben gebrauchten für jedes positive s gültigen Formel 



V-.lo6-(l)3x = ^# 



/;■ 



durch ein bestimmtes Integral aus. Man erhält so für diese Summe 

 wo man zur Abkürzung gesetzt hat 



y(cc) = w a; -t- w 



O.' -+-... -t-w 



Ist nun, wie wir voraussetzen, w nicht = i, so ist das Polynom —/(-i) 

 durch 1 — x theilbar, denn man hat 



f(i) = Ui/' + w^'+ ... +uy'''~' = 1 + 01-1- ... +U}'"- = 0. 



Befreit man daher Zähler und Nenner des Bruchs unter dem Integralzeichen 

 von dem gemeinschaftlichen Factor i — cc, so wird derselbe 



/ + II V— i 



wo i und u Polynome mit reellen Coefücienten bedeuten. Bezeichnen Timd 

 U die gröfsten Zahlenwerlhe von t und u zwischen a- = o imd a:= i, so sind 

 offenbar der reelle und imaginäre Theil tles zweiten Integrals respective 

 kleiner als 



