unendlich viele Primzahlen enthält. 53 



^y;\vviog'-'(i)?a- = -^^-^. 



Das genannte Integral wird also für h=:oo verschwinden. Die Reihe ist 

 also, bei der angenommenen Ordnung ihrer Glieder, convergirend und man 

 hat für ihre Summe den Ausdruck 





Diese Function von s bleibt nicht nur selbst, so lange *>o, stetig und end- 

 lich, sondern dieselbe Eigenschaft kommt auch ihren nach s genommenen 

 Differentialquotienten zu. Es genügt, um sich davon zu überzeugen, nach s 

 zu differentiiren imd zu berücksichtigen, dafs T(s), - gj^, ebenfalls stetig und 

 endlich sind, so wie dafs !'(*) nicht INull wird, so lange s positiv bleibt. 

 Setzen wir daher 



wo -4^(3) und %(s) reelle Functionen bedeuten, so haben wir nach einem be- 

 kannten Satze für ein positives ^ 



^OH-§) = ^l^(i) + ?^'(' + ^?), %(! + ?) = %(') + ? %'(! + £?), (6) 



wo zur Abkürzung \^'(*) = ^^, %'(«) = ^^7^ gesetzt ist und ^ und e positive 

 von abhängige Brüche bedeuten. 



Es vei'Steht sich übi-igens von selbst, dafs für w = — i, %(s) = ist, 

 und dafs, wenn man von einer imaginären Wurzel w zu ihrer conjugirten 

 4- übergeht, yp(s) denselben Werth behält, %(s) aber den entgegengesetzten 

 annimmt. 



§.4. 

 Wir haben jetzt nachzuweisen, dafs die endliche Grenze, der sich 

 2 w^-rlfrj, unter der Voraussetzung, dafs w nicht die Wurzel 1 bedeutet, nä- 

 hert, wenn man das positive ^ unendlich klein werden läfst, von Null ver- 

 schieden ist. Diese Grenze ist nach vorigem g durch das Integral gegeben 



;/(..) 





9j?, 



welches sich leicht durch Logarithmen und Kreisfuuctionen ausdrücken läfst. 



