54 DmiCHLET : Beweis, dafs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. (v. 



t-rr -, /- 



Ireend ein Linearfactor des Nenners x'' — i ist x — e " ""', wo m aus der 

 Reihe o, i, 2, ... p — 1 zu nehmen ist. Zerlegt man ^7— in Partialbrüche, 

 SO wird nach den bekannten Formeln der Zähler des Bruchs .J-,, — 



— f( ^ — "■— l/UTi ^ — ^ 



durch den Ausdruck -^ — ~- eeeeben, wo x=.e ' zu setzen ist. Man 



hat also A,^ = — f{e^^^ ~'^\ Substituirt man diesen Werth und bemerkt, 

 dafs yig=. ist, so erhält man 



am TT 1 / » ^^ 



x — e f 



wo sich das Summenzeichen auf der zweiten Seite von 771= 1 bis m = p — 1 

 erstreckt. . „ , 



* y 2 m TT 1 / ■^ 



Die Function j^(^"^ ""*) ist die bekannte in der Kreistheilimg vor- 

 kommende und läfst sich leicht aufyf ^ '' ""*) zurückführen. Es istnämUch 



■V—\\ ^..ys „em — V—i 



Ae-^-') = -- 



u) e 



wo sich das Zeichen von §' = 1 bisg'=p — 1 erstreckt. Setzt man statt g^m den 

 jedesmaligen Rest h nach dem Modul p, so sind 1, 2, ... p — 1, die verschie- 

 denen Werthe von h, und man hat, wegen 0-7»^// (mod. p), y^^y^ — 7™ 

 (mod. p — 1). Schreibt man also zugleich y^ — 7m für Y^j ^^^s wegen der 

 Gleichung w'"'' — 1 = ei'laubt ist, so kommt 



flc i" ) = u y^^we " = w ^ f\c " f. 



Die obige Gleichung wird so 



x — e >" 



Nun ist für einen positiven Bruch et 



So x—X"''^ ^ log(2sina7r) + ^(i-2ft)i'^, 

 folglich 



