unendlich viele Primzahlen enthält. 55 



Obgleich dieser Ausdruck für ^<^'''~, sehr einfach ist, so kann man 

 doch im Allgemeinen nicht daraus schliefsen, dafs 2w^-^ einen von Null 

 verschiedenen Wcrth hat. Es fehlt noch an gehörigen Principien zur Fest- 

 stellung der Bedingungen, unter denen transcendente Verbindungen, welche 

 unbestimmte ganze Zahlen enthalten, verschwinden können. Die verlangte 

 Nachweisung gelingt jedoch für den besonderen Fall, wo 01 = — 1. Für 

 die imaginären Werthe von w werden wir im folgenden § ein anderes Ver- 

 fahren angeben, welches aber auf den genannten besonderen Fall nicht an- 

 wendbar ist. Unter der Voraussetzung, dafs w :^ — i, erhalt man, mit Be- 

 rücksichtigung, dafs "y,„ gerade oder ungerade ist, je nachdem C^j = -t- 1 

 oder = — 1, und dafs folglich (- 1)-^- = ('") ist, so wie dafs (- iy'=(j), 

 als Grenze von Lr-< für ein imendlich klein werdendes j 



oder einfacher, da zwischen den Grenzen m = 1, 7n = p — i, ^(77) = ^ ist, 



= (7)^ = -M'''^)^(7)('''»(^-^)-7"'»~)- 



Es sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Primzahl p 

 die Form 4jU-t-.3 oder 'l/a-j-i hat. Im ersteren Falle ist für zwei \^erthe, 

 wie m und p — 7n, die sich zu p ergänzen. 



(m\ / p — Tn\ -, . mn 



-) = - (_-) und SU. — = 



CHI -11 1 



sm 



Mithin verschwindet der reelle Theil der Summe, und man erhält, wenn 

 man mit a die Werthe von m bezeichnet, für welche y~-\^=\., und mit h 

 diejenigen, für welche ('") = — 1, oder mit anderen Worten, wenn a und b 

 die Quadratreste und Nichtquadratreste von p bedeuten, welche kleiner als 

 p sind, 



Ist ^ = 4/a+i, so verschwindet der imaginäre Theil der Summe, weil als- 

 dann (— ) = (^~ " ), und man erhält 



