56 DiBiCHLET : Beweis, dafs jede unbegrenzte arilhm. Progression u. s. w. 



WO sich das Mulliplicationszeichen auf alle a oder h erstreckt. 



Bemerkt man jetzt, dafs unter der hier gemachten Annahme von 

 a = — 1, nach bekannten Formeln ('), /(e^' ""') im ersteren Falle l/pV—i, 

 im letzteren \'p ist, so kommt respective 



Für den Fall, wo p = /(ju + 3, sieht man sogleich, dafs 2^^)-^ von 

 Null verschieden ist, indem Xa + Xh =■]) ''Z migerade ist und mithin 

 nicht 2« = SÄ sein kann. Um dasselbe für p = 4(w+ i zu beweisen, nehme 

 man die aus der Kreistheilung bekannten Gleichungen (^) zu Hülfe, 



2n(a-e^^~') = Y-ZVp, 2n(x-e^^^~') = Y+ZVp, 



wo I^und Z Polynome mit ganzen Coefficienten bedeuten. Setzt man in 

 diesen Gleichungen und der daraus folgenden 



a= 1, und nennt g- und h die ganzen Zahlen, welchen Kimd Z gleich wer- 

 den, so kommt, nach einigen leichten Reductionen, 



ilÜ_ .OTT 7 ., ^-i „ . OTT 



2 



n sm — := g~/i Vp, 2 -■ n sm — = g + /i \p, g — ph = hp. 



Aus der letzten Gleichung folgt, dafs g durch p theilbar ist. Setzt man Aa- 

 hev g = pJi, und dividirt die beiden ersten durch einander, so erhält man 



n sin- 





n sin -^ k \ p — h ' 



Nach der zweiten dieser Gleichungen kann h nicht Null sein, folglich 

 sind die beiden Seiten der ersten von der Einheit verschieden, woraus so- 



(') Comment. Gotting. rec. Voll, oder die Abhandlungen unserer Akademie, Jahrg. 1S35. 

 (-) Disij. arith. ort. 357. 



