unendlich viele Primzahlen enthält. 57 



gleich, mit Beriicksichtigung des oben erhaltenen Ausdruckes folgt, dafs 

 X(-\y nicht den Werth Null haben kann, w. z. b. w. Man kann noch 

 hinzufügen, dafs die Summe 5 (— )-^, da sie als Grenzwerth eines Products 



aus lauter positiven Factoren, nämlich als Grenzwerth von 11 — - — -— für 



ein unendlich klein werdendes ^, auch nicht negativ sein kann, nothwendig 

 positiv sein wird. 



Aus dieser Bemerkung folgen unmittelbar zwei wichtige und auf an- 

 derem Wege wahrscheinlich sehr schwer zu beweisende Sätze, von denen 

 der auf den Fall p = 4,w + 3 bezügliche darin besteht, dafs für eine Primzahl 

 dieser Foi'm immer Xb>Xa ist. Wir wollen uns jedoch bei diesen Folge- 

 rungen xmsei-er Methode hier nicht aufhalten, da wir bei einer anderen Un- 

 tersuchung Gelegenheit finden werden, auf diesen Gegenstand zurückzu- 

 kommen. 



§.5. 



Um für L„ , wenn m weder o noch ^^^ ist, nachzuweisen, dafs sein 

 einem unendlich kleinen ^ entsprechender Grenzwerth von Null verschie- 

 den ist, nehme man den Logarithmus von n ^ — , und entwickle den 



Logarithmus jedes Factors mittelst der Formel 



1 — w^- 



e/' + i 



— log(i — x) = a;4--i-.r'+-fa7'. 



Man findet so 



Xui-'^ + ^Xuj"' ■~rTr + i:Xu^"'jp^ -\- ... = lo^L, 



wo sich die Summationen auf q beziehen und y den Index von q bedeutet. 

 Setzt man der Reihe nach für w seine Werthe i, fl, ß^, ... V."'", addirt und 

 berücksichtigt, dafs die Summe 



immer verschwindet, aufser wenn hy durch p — i theilbar ist, in diesem Falle 

 aber den Werth p — i hat, luid dafs die Bedingung ^7 = (mod.p — 1) gleich- 

 bedeutend mit 7^ = 1 (mod. p) ist, so erhält man 



Mathcmat. Abhandl. 1837. H 



