58 DiRiciiLET : Beweis, dafs jede imhcgrenzte arilJwi. Progression ii. s. w. 



wo sich die erste, zweite, ... Summation resp. auf die Werthe von q be- 

 zieht, deren erste, zweite, ... Potenzen in der Form fj-p-i-i enthalten sind. Da 

 die erste Seite reell ist, so folgt, dafs das Product unter dem Zeichen log 

 positiv ist, was auch sonst klar ist, und dafs für den Logarithmus der arith- 

 metische mit keiner Vieldeutigkeit behaftete Werlh zu nehmen ist. Die 

 Reihe auf der ersten Seite bleibt stets positiv, und wir werden nun zeigen, 

 dafs die zweite, in Widerspruch hiermit, für ein tmendlich kleines ^ den 

 Werth — oo haben würde, wenn man die Grenze für L,„ als verschwindend 

 annehmen wollte. Die zweite Seite läfst sich in die Form bringen 



logZ„ + logi^^ + logZ,Z^_„ + logZ, I/^_3-t-..,, ....;'. 



2 



wo log Lg nach (5) dem Ausdruck 



gleich ist, dessen zweites Glied sich der endlichen Grenze log ( ^ j nähert-, 

 eben so bleibt los Lp-i endlich, da der Grenzwerth von Lp-^ nach §.4. 



2 _ 2 



von ü verschieden ist. Irgend einer der übrigen Logarithmen, wie iogZi,„Z/^^,_„ 

 ist nach §.3., log (■4'"(i-f-^)-4-x''(i+^)), welcher Ausdruck, wenn 2y„ und 

 also auch Z(^_,_„ die Null zur Grenze hätte, so dafs gleichzeitig -4^(1) = o, 

 %(\) = wäre, in 



log(?'(^"('+<^?) + %"(<+E?))) = — 2 log ( j) + log {-^"(i+S^) + x'-(n-£^)) 



übergehen würde. Vereinigt man das Glied — 2 log (-^) mit dem ersten 

 Gliede von log Z/g, so bleibt — log (y), welcher Werth für ein unendlich 

 kleines ^ in — oo übergeht, und es ist klar, dafs dieser unendlich grofse 

 negative Werth nicht etwa durch log (■4/'^(i-4-^^) + %'"(i-+-£j)) aufgehoben 

 werden kann, denn dieser Ausdruck bleibt entweder endhch oder wird selbst 

 — oo, wenn nämlich gleichzeitig ■^'(i) = o, %'(]) = o wäre. Eben so ein- 

 leuchtend ist, dafs, wenn man aufser L,„ imd i^_,_„ noch ein anderes oder 

 mehrere andere Paare zusammengehöriger L als verschwindend betrachten 

 wollte, der Widerspruch nur noch verstärkt würde. Es ist somit bewiesen, 

 dafs die einem unendlich klein werdenden ^ entsprechende Grenze für L„ 



