unendlich viele Primzahlen enthält. 59 



(wo m nicht o ist) endlich und von der Null verschieden ist, so vrie dafs L^ 

 in demselben Falle >c wird, woraus sogleich folgt, dafs die Reihe 



Sa;y.T+4Sc.=^-^ + |Sc.'-^+... = logi (7) 



sich immer, wenn nur nicht w = i, einer endlichen Grenze nähert, für w = i 

 aber unendlich grofs wird, wenn man ^ unendlich klein werden läfst. 



Wollte man diese endliche Grenze selbst haben, deren Kenntnifs je- 

 doch zu unserem Zwecke nicht erforderlich ist, so würde (wenn w nicht — i 

 ist) ihre Bestimmung durch den Ausdruck log (-4/(1) + xC')]^ — i) Kiit einer 

 Vieldeutigkeit behaftet sein, die man aber in jedem specielleu Falle, d.h. 

 sobald p und w numerisch gegeben sind, leicht heben kann. Setzt man die 

 Reihe (7), z=u + v]' — i, und folglich 



u-\-v\'— 1 = log Z, = log (v|/(i+§) + V^i %(! + ?)), 



so hat man 



«= ylog (%//'(! + §) + X'(i + f)), 



cos V = ,,^ ^ ^' , sm V = ■ "^^ ^^ 



und folglich ist der Grenzwerth von u ohne Vieldeutigkeit, 



= i-log(x^'^(0 + 7/(i)). 



Um den von v eben so zu erhalten, bemerke man, dafs die Reihe, wie klein 

 auch ^ sei, stetig mit dieser Gröfse veränderlich ist, wie man leicht nach- 

 weisen kann, und dafs mithin auch v eine stetige Function von ^ sein mufs. 

 Nun wird sich, da nicht zugleich ■\l'(i) = o, y^(i) = o sein kann, aus den oben 

 gegebenen Ausdrücken von -4/(1 + ^) und 7^(1 + ^) in Form bestimmter Inte- 

 grale immer ein positiver endlicher Werth R von solcher Beschaffenheit ab- 

 leiten lassen, dafs wenigstens eine der Functionen -4/(1-1-^), x(' + ?) füi' jedes 

 0, welches < li ist, dasselbe Zeichen behält. Es wird mithin cosv oder sinv, 

 sobald ^ abnehmend kleiner als R geworden ist, sein Zeichen nicht mehr 

 ändern, und also der continuiilich veränderliche Bogen v nicht mehr um tt 

 zu- oder abnehmen können. Bestimmt man also den =z R entsprechenden 

 endlichen \^ erth von v, den wir 7^" nennen wollen, imd den man durch nu- 

 meiische Rechnung aus der Reihe (7) selbst leicht finden kann, da diese für 



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