60 DiRicHLET : Beweis, dafs jede unhegrenzte arithm. Progression u. s. w. 



jeden endlichen Werth von ^ in die erste der in §. 1. unterschiedenen Klas- 

 sen gehört und also eine völlig bestimmte Summe hat, so ist nun der Grenz- 

 werth Va von v durch die Gleichungen 



^|.(1) . 7(1) 



cos i'n = =, sm v„= — 



mit der Bedingung verbunden, dafs die Differenz V — i'^,, abgesehen vom 

 Zeichen, < :r sein mufs, vollständig bestimmt. 



§.6. 



Wir sind jetzt im Stande zu beweisen, dafs jede arithmetische Reihe, 

 deren Differenz p ist und deren erstes Glied nicht durch p theilbar ist, un- 

 endlich viele Primzahlen enthält, oder mit anderen Worten, dafs es unendlich 

 viele Primzahlen von der Form ixp + m giebt, wo ju eine unbestimmte ganze 

 Zahl und m eine der Zahlen 1, 2, 3, ... p — 1 bedeutet. Denkt man sich die 

 in der Gleichung (7) enthaltenen Gleichungen, so wie sie der Reihe nach 

 den Wurzeln 1, n, Q", ..., O'"", (4) entsprechen, mit 1, P."'^'", QT''^'", ... 

 j2-(/'--)7™^ multiplicirt und addirt, so erhält man auf der ersten Seite 



2(i-t-oV-v» + j^2(v-7J + ... + c2(^-^)(w™)) _1_ 



WO sich die Summationen auf g beziehen und y den Index von q bezeichnet. 

 Nun ist aber 



aufser wenn hy — 7„,:=o (mod. p — 1) ist, in welchem Falle diese Summe 

 = /j — 1 ist. Diese Congruenz ist aber gleichbedeutend mit 9* = /?» (mod.p). 

 Man hat daher die Gleichung 



'^ ■>. ■^ _2+2 e T^ 3 "* „3+3 f ^' '" 



, i + e ^^ 2 "^ „2-1-2? T^ 3 -' 3-H3e 



= — (108^0 + ""''"' logZ, + n-'^'"logX,.t....-l-J2-(''-')^" log A-2), 



