unendlich viele Trimzahlen enthält. 61 



wo sich die erste Summatioii auf alle Primzahlen q der Form ij.p + m er- 

 streckt, die zweite auf alle Primzahlen q, deren Quadrate, die dritte auf alle 

 Primzahlen q, deren Cuhen, u. s. w. in derselben Form enthalten sind. Denkt 

 man sich nun ^ imendlich klein werdend, so wird die zweite Seite durch das 

 Glied log Z/q imendlich grofs. Es mufs also auch die erste Seite unendlich 

 werden. Auf dieser Seite bleibt aber die Summe aller Glieder, mit Aus- 

 schlufs des ersten, endlich, da bekanntlich ^S -^ + ^ S 7^ + ... noch end- 

 lich ist, wenn man unter q nicht, wie hier, gewisse Primzahlen, sondern alle 

 ganzen Zahlen, welche > 1 sind, versteht. Folglich mufs die Reihe S— rVf 

 über jede positive Grenze hinaus wachsen, sie mufs mithin unendlich viele 

 Glieder enthalten, d. h. es giebt unendlich viele Primzahlen q der Form 

 \xp 4- m, w. z. b. w. 



§.7. 



Um den im Vorhergehenden geführten Beweis auf eine arithmetische 

 Reihe auszudehnen, deren Differenz irgend eine zusammengesetzte Zahl ist, 

 sind einige Sätze aus der Theorie der Potenzreste erforderüch, die wir hier 

 kurz zusammenstellen wollen, um uns in der Folge leichter darauf beiufen 

 zu können. Die Begründung dieser Resultate kann man in den Disq. arith. 

 sect. III. nachsehen, wo dieser Gegenstand ausführlich behandelt ist. 



I. Die Existenz von primitiven Wurzeln ist nicht auf ungerade Prim- 

 zahlen p beschränkt, sondern findet auch noch für irgend eine Potenz p" 

 einer solchen Statt. Ist c eine primitive Wurzel für den Modul p", so sind 

 die nach diesem genommenen Reste der Potenzen 



1 2 (/' — 1)^""' — < 



C j C , C j ...y c , 



alle von einander verschieden und fallen mit der Reihe derjenigen Zahlen zu- 

 sammen, welche < p" und zu p" relative Primzahlen sind. Hat man nun irgend 

 eine nicht durch p theilbare Zahl n, so ist der Exponent y„<(p — i)p''~\ 

 welcher der Congruenz 



c^" = 71 (mod. p") 



genügt, völlig bestimmt und soll der Index von n heifsen. Von solchen lu- 

 dices gelten wieder die leicht zu beweisenden Sätze, dafs der Index eines 

 Productes der Summe der Indices der Factoren, um das grofste darin ent- 



