62 DmiCHLET : Beweis, da/s jede unbegrenzte arilhm. Progr-ession u. s. w. 



haltene Vielfache von (p — Op"' vermindert, gleich, so wie dafs y„ gerade 

 oder ungerade ist, je nachdem r~\ =. ■+■ i oder — i ist. 



IL Die Primzahl 2 verhält sich in der Theorie der primitiven Wur- 

 zeln wesentlich anders, als die ungeraden Primzahlen, und es ist über diese 

 Primzahl Folgendes zu bemerken, wenn wir die erste Potenz 2, welche hier 

 nicht in Betracht kommt, aufser Acht lassen. .. 



1) Für den Modul 2^ hat man die primitive Wurzel — i. Bezeichnet man 

 den Index für irgend eine ungerade Zahl 7i mit a„, so dafs also ( — 1)"" = « 

 (niod, t), so ist «„ = o oder = i, je nachdem n die Form 'iju-f-i oder 1/^ + 3 

 hat, und man erhält den Index eines Productes, wenn man von der Summe 

 der Indices der Factoren das gröfste darin enthaltene Vielfache von 2 ab- 

 zieht. 



2) Hat der Modul die Form 2*^, wo A^3 ist, so giebt es keine primitive 

 Wurzel mehr, d. h. es existirt keine Zahl, für welche die Periode ihrer Po- 

 tenzreste nach dem Divisor 2'' alle ungerade Zahlen enthält, welche < 2*^ 

 sind. ]Man kann nur die Hälfte dieser Zahlen als solche Reste darstellen. 

 Wählt man irgend eine Zahl der Form sjjl+s oder speciell 5 zur Basis, so 

 sind die nach dem Modul 2^ genommenen Reste der Potenzen 



.0 



D, ^9 9 ***9 



'— 1 



J 



alle von einander verschieden und fallen mit den Zahlen zusammen, welche 

 die Form 'iz-i-Hi haben imd < 2' sind. Hat man daher eine Zahl n der Form 

 hij.-t-\, so läfst sich immer der Congruenz 



ß 

 5 "^n (mod. 2'') 



durch einen imd nur durch einen Exponenten oder Index ß„ genügen, wenn 

 dieser < 2^"^^ sein soll. Hat n die Form 4ju + 3, so ist diese Congruenz un- 

 möglich. Da aber unter dieser Voraussetzung — n die Form 'iju-f-i hat, so 

 wollen wir allgemein unter dem Index einer ungeraden Zahl « den völlig 

 bestiunnteu Exponenten ß„ verstehen, welcher < 2^"^ ist und der Congruenz 



5'^"=±n (mod. 2') 



genügt, in welcher das obere und das untere Zeichen zu nehmen ist, je 

 nachdem n die Form i)U-f-i oder ''i/x + 3 hat. Wegen dieses doppelten Zei- 



