64 DmiCHLET : Beweis, dafs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. w. 



berücksichtigt, dafs das doppelte Zeichen in der zweiten dieser Congruen- 

 zen durch die erste festgestellt wird. Wir werden die Indices a„, /3„, 7„, y'„, 

 ... oder a, ß, y, y', ..., das System der Indices für die Zahl n nennen. Da 

 die Indices a, /3, 7, y', ... resp. 2, 2^~% {p — \)p'~% (p'—i)p'"-', ... ver- 

 schiedene Werthe erhalten können, so ist , > , 



2.2'-(p-i)p''-'.(p'-i)p'"'-... = 7.(i— i-)(i-l)(i-l)...=Ä- (8) 



die Anzahl aller möglichen Systeme dieser Art, was mit dem bekannten Satze 

 übereinstimmt, nach welchem K die Anzahl derjenigen Zahlen ausdrückt, 

 welche kleiner als k und zu k relative Piimzahlen sind. 



§.8. ^ 



Indem wir nun dazu übergehen, das Theorem über die arithmetische 

 Progression in seiner ganzen Allgemeinheit zu beweisen, bemerken wir, dafs 

 man, ohne dieser Allgemeinheit zu schaden, die Differenz k der Progression 

 als durch s theilbar und also in der Form des voi'igen §. n.III. enthalten, an- 

 nehmen kann. Ist der Satz unter dieser Voraussetzung bewiesen, so wird er 

 offenbar um so mehr gelten, wenn die Differenz ungerade oder nur durch 

 2 oder 4 theilbar ist. Es seien 0, (p, w, w', ... irgend welche Wurzeln der 

 Gleichungen 



6-— 1 = 0, (p — 1 = 0, w^'^ ^^ — 1=0, u]^'^ "^ — 1 = 0, ... (9) 



und cf eine beliebige von 2, p, p, ... verschiedene Primzahl. Bildet man nun 

 die Gleichung 



h.^,.,y,.,'y _' _i_ fl-" ^23 ,.,2y ,./jy' * 



■ ^'= W' W ^ ... -^ + U-" ^-"^ W' ' ü)' 



in welcher *> 1, xmd das System der Indices a, ß, 7, 7', ... sich auf «7 be- 

 zieht und multiplicirt alle Gleichungen dieser Form, welche man erhält, 

 wenn man für q alle von 2, p, p, ... verschiedenen Primzahlen setzt, in ein- 

 einander, so kommt, mit Berücksichtigung der oben erwähnten Eigenschaften 

 der Indices und der Gleichungen (9), j, 



n ^ = 2;9''/üj''w'^'...-i- = A (lO) 



■■ • 1' -■'''■■ ' '^ '■■■■' ' '^' '■ 



