66 DmicHLET : Beweis, clafs jede unbegrenzte arithm. Pj'ogression u. s. w. 



stens eine der Wurzeln <p, w, w, ... imaginär ist, und es leuchtet ein, dafs 

 die Reihen dieser Ivlasse einander paarweise zugeordnet sind, da die beiden 

 Wurzelcombinationen 



% <p, w, w, ... ; -^ = 9, -, _, _, ... 



unter der eben ausgesprochenen Voraussetzung offenbar von einander ver- 

 schieden sind. Wir haben jetzt das Verhalten dieser Reihen zu untersuchen, 

 wenn man darin s=ii + ^ setzt, und das positive ^ unendlich klein werden 

 läfst. Betrachten wir zunächst diejenige Reihe, welche die erste Klasse con- 

 stituirt, so ist klar, dafs diese als die Summe von K Partialreihen angesehen 

 werden kann, deren jede die Form hat 



1 1 1 



-rx7 + 



wo in<.k und zu h relative Pi-imzahl ist. Mithin ist die Reihe dieser Klasse 

 nach §. 2. dem Ausdrucke 



i 

 gleich, wo (p{^) für ein unendlich kleines ^ endlich bleibt. 



Was die Reihen der zweiten und dritten Klasse betrifft, so findet man, 

 wenn man sich darin die Glieder so geordnet denkt, dafs die Werthe von ti 



, . ■'/'(?)' (12) 



vrachsend fortschreiten und *>o setzt, für diese die Gleichung 



S 9 «/.c^c. ^ ... - = ^^J^ ^-^-3^^. log (-)3a-, (1.3) 



wo sich das Zeichen S auf der zweiten Seite auf alle positiven ganzen Zah- 

 len n erstreckt, welche </i: und zu k relative Primzahlen sind, und ot, ß, y, 

 y', ... das System der Indices für 7i bedeutet, und man beweist leicht, dafs 

 die zweite Seite einen endlichen Wei'th hat. IMan darf hierzu nur bemerken, 

 dafs das Polynom S ö''^'^w'^ oj' '■'... .r""^ den Factor i — cc involvirt, was so- 

 gleich erhellt, wenn man cc = i setzt, wodurch dieses Polynom in das Product 



(t + O) (i-|-(/.-l-. .. + (/)" ~') (n-w-H...-t-w*^^'~'-''" "') 



übergeht, von dessen Factoren wenigstens einer verschwindet, da die Wur- 

 zelcoml)iualion 



