68 DmicHLET : Beweis, dafs Jede unbegrenzte aritlim. Progression u. s. w. 



Es sei nun m irgend eine ganze Zahl </.:, welche keinen gemein- 

 schaftlichen Factor mit k hat. Multiplicirt man auf beiden Seiten mit 



und schreibt zur Abkürzung auf der ersten Seite nur das allgemeine Glied, 

 so kommt 



— ^ ^ " *' ••• •^'-'o a, b, c, c, ..• 



Summirt man jetzt, um alle Wurzelcombinationen zu umfassen, von a = o, 

 fc = o, c = o, c'=o, ..., bisrt = i, 6 = 2'-^— 1, c = (/> — i) />>""' — 1, 

 c' = (/y — i) //"'"■ — 1, ..., so kommt auf der ersten Seite als allgemeines 

 Glied 



' XTF- ' 



wo sich das Zeichen 5 auf q erstreckt, inid JV das Product der nach a, b, 

 c, c', ••• resp. zwischen den angegebenen Grenzen zu nehmenden Summen 

 bedeutet, 



(/.«-«„)a ^ (A/3-/3„)b ^„(Ay-7»)c ^ ^,ihy'-^/„)c' 



Nun ist, mit Berücksichtigung von §. 7., leicht zu sehen, dafs die erste die- 

 ser Summen 2 oder o ist, je nachdem die Congruenz ha — «„^o (mod. 2), 

 oder was dasselbe ist, die Congruenz (/''^m (mod. 4) Statt findet oder nicht 

 Statt findet, dafs die zweite 2'~° oder ist, je nachdem die Congruenz 

 hß — ß„,^o (mod. 2*^"'), oder was dasselbe ist, die Congruenz q''^±m 

 (mod. 2') Statt findet oder nicht Statt findet, dafs die dritte {p — ^) p"~' oder 

 ist, je nachdem die Congruenz /ly — 'y,„^o (mod. (p — i)p''~'), oder was 

 dasselbe ist, die Congruenz q''^m (mod. p") Statt findet oder nicht Statt 

 findet, u. s. w. Es folgt hieraus, dafs TV immer verschwindet, aufser wenn 

 man gleichzeitig q'"^m, nach den Moduln 2*^, p'', p'"" , ... hat, oder was das- 

 selbe ist, aufer wenn q''^m (mod. k), ist, in welchem Falle r?^=Ä"wird. 

 Unsere Gleichung wird daher 



^ _J I. 1 V ^ .1. < V ^ ■_ ^ 



•I 



= —S0 * ü ^" P. ^^ ... l0gZ,,6,(, c-...., (1'5) 



