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wo sich die Summationen auf der ersten Seite resp. auf alle Primzahlen q 

 beziehen, deren erste, zweite, dritte Potenzen in der Form ju/c + m enthal- 

 ten sind, während die Summation auf der zweiten Seite über a, h, c, c', ..., 

 zwischen den schon angegebenen Grenzen zu erstrecken ist. Setzt man spe- 

 ciell m=i, so wird a„ = o, /3^ = o, y„ = o, y'^ = o, ..,, und die zweite 

 Seite reducirt sich auf 



:i^2logia,6,c,c.... 



Unter den Gliedern dieser Summe wird dasjenige, welches dem L der er- 

 sten Klasse, oder nach (11), io' c o' o' ••• entspricht, vermöge (12), log ({) 

 enthalten. Diejenigen Glieder, welche den verschiedenen L der zweiten 

 Klasse entsprechen, werden, unter Voraussetzung der oben geforderten Nach- 

 weisung, für ein unendlich kleines ^ endlich bleiben. Wäre nun der Grenz- 

 werth für irgend ein L der dritten Klasse der Null gleich, so würde, wie in 

 §.5., die Betrachtung der Continuität des Ausdrucks (13) für den Logarith- 

 mus dieses L, mit dem des ihm zugeordneten L verbunden, das Glied 

 — 2log(|) ergeben, aus dessen Vereinigung mit log ({) in log Z^, ;,, g, q, ... 

 noch — log (I) bliebe, welches Glied für ein unendlich klein werdendes o 

 den Werth — oo annimmt, während die erste Seite aus lauter positiven Glie- 

 dern besteht. Es kann daher kein L der dritten Klasse die Null zum Grenz- 

 werth haben, imd wir haben das Resultat (unter Voi'behalt des noch zu ge- 

 benden Beweises für die Reihen der zweiten Ivlasse), dafs 



log Z, f, , ,■ 



sich für ein imendlich klein werdendes ^ immer einer endlichen Grenze nä- 

 hert, ausgenommen, wenn gleichzeitig a = o, b = o, c = o, c= o, ... ist, in 

 welchem Falle dieser Logarithmus einen unendlich grofsen Werth ei'hält. 



Wendet man dieses Resultat auf die allgemeine Gleichung (15) an, 

 so sieht man sogleich, dafs die zweite Seite derselben für ein unendlich klei- 

 nes j unendlich wird, und zwar durch das Glied -^^logio, p, q, „, ..., wel- 

 ches über jede Grenze hinaus wächst, während alle übrigen endlich bleiben. 

 Es mufs also auch die erste Seite jede endliche Grenze überschreiten, wor- 

 aus, wie in §. 6. folgt, dafs die Reihe 5— r+7 imendlich viele Glieder enthält, 

 oder mit anderen Worten, dafs die Anzahl derjenigen Primzahlen </, welche 

 die Form kix + m haben, in welcher |U eine imbestimmte ganze Zahl und 



