70 DmicuLEx: Beweis, dafs jede unbcgi-cnzte arithm. Progression u.s.w. 



m eine gegebene Zahl bezeichnet, die keinen gemeinschaftlichen Factor mit 

 Jx hat, unendlich ist, w. z. b. w. .; . j , 



§.11. 



Was nun die zur Vervollständigung des eben entwickelten Beweises 

 noch erforderliche Nachweisung betrifft , so i-educirt sich diese nach dem 

 unter (14) gegebenen Ausdruck für den Grenzwerth eines L der zweiten 

 oder dritten Klasse darauf, dafs man zeige, dafs für irgend eine Wurzel- 

 combination der Form ± i, ± i, ± i, db i, •••, mit alleiniger Ausnahme der 

 folgenden +i, +i, +i, +i, ..., die Summe 



s(±ir(±ir(±ir(±.r ...^, : (i6) 



worin a, ß, y, 7', ... das System der Indices für n bedeutet, und für n alle 

 positiven ganzen Zahlen, welche durch keine der Primzahlen 2, p, p', p", ... 

 theilbar sind, und so wie sie ihrer Grüfse nach auf einander folgen, zu setzen 

 sind, einen von der Null verschiedenen Werth hat. In der Abhandlung, so 

 wie sie der Akademie lu'sprünglich vorgelegt wurde, hatte ich diese Eigen- 

 schaft durch indirecte imd ziemlich complicirte Beti'achtungen beweisen. Ich 

 habe mich aber später überzeugt, dafs man denselben Zweck auf einem an- 

 dern Wege weit kürzer erreicht. Die Principien, von welchen wir hier aus- 

 gegangen sind, lassen sich auf mehrere andere Pi-obleme anwenden, zwi- 

 schen denen luid dem hier behandeilen Gegenstände man zunächst keinen 

 Zusammenhang vermulhen sollte. Namentlich kann man mit Hülfe dieser 

 Principien die sehr interressante Aufgabe lösen, die Anzahl der verschiede- 

 nen quadratischen Formen zu bestimmen, welche einer beliebigen positiven 

 oder negativen Determinante entsprechen, imd man findet, dafs diese An- 

 zahl (was jedoch nicht die Endform des Resultates dieser Untersuchung ist) 

 als Product von zwei Factoren dargestellt werden kann, wovon der erste 

 eine sehr einfache Function der Determinante ist, welche für jede Determi- 

 nante einen endlichen Werth hat, während der andere Factor durch eine 

 Reihe ausgedrückt ist, die mit der obigen (16) zusammenfällt. Aus diesem 

 Resultat folgt dann luimittelbar, dafs die Summe (16) nie Null sein kann, 

 da sonst für die entsprechende Determinante die Anzahl der quadratischen 

 Formen sich auf Null reduciren würde, während diese Anzahl wirklich im- 

 mer ^ 1 ist. 



