2 Grelle: Bemerkungen über die Zerlegung 



setzt, und diese Gleichuns in die Gröfse ~ auf ähnliche Weise einführt. 

 Dies Verfahren giebt, wie Beispiele zeigen, richtige Resultate; allein Eu- 

 ler's Abhandlung enthält keinen eigentlichen Beweis davon. Es heifst zwar 

 §. 8. S. 7. (in gegenwärtigen Zeichen ausgedrückt) : wenn man den Bruch 

 .-^. ,^ =: -£^ + etc. durch (px multiplicire, welches 



Fx , j Fx 

 -j^ ■=y + cpxx etc. und j = (pjcx etc. 



gebe, so erhalte man^ = -j^ , wenn man (pa- = o setze, und es komme nur 

 darauf an, daraus eine ungebrochene Function von j- abzuleiten. Allein 

 man sieht nicht, mit welchem Rechte <px = o gesetzt werden darf; denn es 

 wird dadurch x von den gegebenen Coefficienten <?, , c.,, c,,.... abhängig 

 gemacht, und verschwindet also ganz aus der Rechnung. Es soll zwar, wie 

 noch bemerkt wird, die Gleichung (px:=o nur zur Wegschaffung derjeni- 

 gen Potenzen von x aus -^ benutzt werden, deren Exponenten höher als 

 n — 1 sind, zu welcher Operation Euler noch besondere Kunstgriffe zeigt; 

 aber diese Bedingung vei-mindert nicht, sondern vermehrt noch die Schwie- 

 rigkeit, weil man nicht sieht, warum nur die höheren Potenzen von x von 

 der Gleichimg (px^=o abhängen sollen, und nicht auch zugleich die nie- 

 drigeren. 



Da nun das Verfahren nicht allein wirklich richtig, sondern auch 

 sehr eigenthümlich ist; so dürfte es nicht ohne Interesse sein, die Rechtfer- 

 tigung desselben zu versuchen. 



2. Man multiplicire den Ausdruck (2.) z.B. mit <px, so verwandelt 



er sich in 



„ Fx z 



Um nun die ungebrochene Function j- aus der bi-uchförmigen Gröfse 

 -j^ abzuleiten, setze man 



■^ pfx — r(px ' 



wo p, cj, r unbekannte Polynome mit Potenzen von x sind. Damit aber der 

 vorausgesetzte Ausdruck y zu dem beabsichtigten Zwecke diene, darf sein 

 Nenner pfx — rcpx kein x enthalten. Es mufs vielmehr pfx — npx ^a, 

 oder wenn man sich die unbekannten Coefficienten von p und r, so wie 

 auch von cj, sogleich mit « dividirt vorstellen will. 



