gebrochener j poljriomischer Functionen. 3 



5. pfx — rcpx = 1 



sein. Die Voraussetzung (5.): dafs zwei Polynome p und /• möglich sind, 

 die, das erste mit dem gegebeneu Polynom yj:, das andere mit dem 

 gegebenen Polynom (px multiplicirt, Producte geben, deren Unterschied 

 gleich 1 ist, und also nicht mehr von x abhängt, ist erlaubt ; denn man setze 



\r = r, + r„x 



P,x- ■+■ + p,.+ ,x' 



r^x" + ■+■ r^^,x'^ 



wo /?, , p„, p,+, und r, , r.,, /;^, unbestimmte Coefficienten sind : 



so steigt das Product pj'x auf die v + m'% und das Product rcpx auf die 

 fx + «" Potenz , und p und y zusammen enthalten fj. -i- v -{- 2 unbestimmte 

 Coefficienten, während das Product p/x, f + w + i, und das Product rcpx, 

 lj.-i- n + i Glieder hat. Damit also keine Coefficienten unbestimmt bleiben, 



darf man nur 



lx + v + 2^v-^m-i-i=iJ.-i-n-\-i 

 setzen, woraus 



fx = m — 1 und v = n — i 



folgt. Wenn man also die Gleichung 



f{p,+P2^+P3^'+ -i-p.^"'') (b, + b.,x-i-b,x' + + Z.^^,a") 

 + ('i + 'e-^-*- '\^"-+- + '■„•^"'~') (^.-*- c^x + c^x" + . . . . + c^_^,x") 



aufstellt, so können die unbestimmten Coefficienten p^, p„, . . .. /•,, r„,. . . . 

 sämmtlich gefunden werden, indem es eben so viele Gleichungen zur Be- 

 stimmung derselben giebt, als ihrer sind ; und zwar sind die Bestimmungs- 

 gleichungen von linearer Form. Die Form (5.) von j ist also vorauszu- 

 setzen erlaubt. 



Man darf daher in (4.) rcpx-i-i statt p/x, und folglich 



_ pFa: — Qcpa: 

 8. J^=—^ ^ 



setzen. -^ rcpx + l — r<pj: 



3. Nun stelle man sich vor: pFx in (4.) werde durch cpx dividirt; 

 so wird man einen Quotienten, der Potenzen von x enthält, und einen 

 Rest, welcher durch M bezeichnet werden mag, finden, der zwar ebenfalls 

 noch Potenzen von x enthält, in welchem aber x weniger hoch steigt, als 



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