6 Grelle: Bemerkungen über die Zerlegung 



2x' — ix^ -\- x^ + 4a:' — x" + 2x ■= 



= {x" — 2) (20:'' — 3a:' + o:" + 4a; — 2) + o-" + lox — h. 



6. Um also in dem obigen Falle z.B. pFx durch (px zu dividiren, 

 in der Absicht, den Rest der Division zu erfahren, dürfte man also auch 

 nur den Divisor (px gleich Null setzen, und das, was daraus für seine höch- 

 ste Potenz folgt, auf alle Potenzen von pFx anwenden, die nicht niedriger 

 sind. Das Resultat würde der Rest sein. - ' ' • ' 



Da man aber p in pFx nicht kennt, so kommt es darauf an, ob und 

 wie der Rest der Division von pFx durch ^r zu finden sei, ohne p vorher 

 zu berechnen. Dieses ist möglich ; und zwar auf folgende Weise. 



7. Der Beweis in (2.) nemlich, dafs es immer Polynome p und r 

 giebt, die, das erste z.B. mit einem gegebenen Polynom yo:, das andere 

 mit dem gegebenen Polynom ipx mulliplicirt, Producte geben, deren Un- 

 terschied eine von x unabhängige Gröfse, und zwar 1 ist, zeigt zugleich, 

 dafs nicht mehr verschiedene solche Polynome p imd r möglich sind, 

 die die Bedingung erfüllen, sondern von jedem nur Eins; denn die Coef- 

 ficienten derselben werden durch lineare Gleichungen gefunden, und ha- 

 ben folglich nur Einen Werth. Man mufs also darauf nothwendig stofsen, 

 wenn man auf irgend eine Weise den Bruch — ^ vermittelst der Division 

 durch <px in einen andern mit constantem Nenner, zu verwandeln sucht. 



Man multiplicire zu diesem Ende Fx undy'a' zuerst mit einer belie- 

 bigen Potenz von x, in so fern nicht etwa Fx undy'a- selbst schon durch 

 <px theilbar sind. Hierauf dividire man die Producte durch (px, und zwar 

 wie in §.5., nemlich dadurch, dafs man <px=:.o setzt, und das, was dar- 

 aus für die höchste Potenz von x folgt, auf die nicht niedrigeren Potenzen 

 der Producte anwendet. Ergiebt sich für das Product des Nenners eine 

 von X unabhängige Gröfse, so ist die Potenz von x, mit welcher man mul- 

 liplicirt hat, das unbekannte p, und der Quotient der Reste der beiden Pro- 

 ducte ist der verlangte. Ist der Rest der Division des Nenners nicht con- 

 stant, so multiplicire man Fx undya: noch mit einer andern Potenz von x, 

 und untersuche den Rest der Division des Nenners. Ist derselbe noch nicht 

 constant, so wiederhole man das Verfahren. Stöfst man auf Quotienten 

 von Producten, deren nicht constante Reste im Nenner gleiche höchste 

 Potenzen von x enthalten, so kann man, dadurch, dafs man diese Quotien- 



